Observation intérressante au niveau des nombres premiers

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blizter

Observation intérressante au niveau des nombres premiers

Message non lu par blizter »

Bonjour à tous,

Je suis un étudiant en secondaire 5 du Québec, équivalent de la première année de lycée. Récemment j'ai commencé à m'intéresser aux nombres premiers, j'ai essayer tout plein de calculs qui ont abouti à rien, mais un jour j'eus une idée. On observe souvent des nombres premiers qui sont +1 ou -1 de nombres parfaits, alors j'ai observer la formule :

$$y=(floor(sqrt(x))*ceil(sqrt(x)))-x$$

Cette formule représente comme je l'appelle la différence qu'a le nombre avec le ''rectangle parfait'' le plus proche (je ne savais pas trop comment appeler ça).

Ex : 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36 sont des "rectangles parfaits"

Donc en traçant cette fonction, et en plaçant les nombre premiers dessus, j'ai pu remarquer des sortes de suites linéaires de nombres premiers. Une commence à 23 et se termine à 101.

C'est beaucoup plus facile a visualiser lorsque qu'on le voit. Je peux essayer de faire une image. Ce qui est intéressant, c'est le fait que ces "suites" de nombres semblent périodiques.

Voici une image qui montre la suite 23, 101 il y en a d'autres, croyez moi.

Image ici

Qu'en dites-vous ?
:? [/img]
Dernière modification par blizter le dimanche 03 juin 2007, 16:41, modifié 1 fois.
jobherzt
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Message non lu par jobherzt »

- je ne vois pas trop ce que tu appelle "rectangle parfait" (un nombre qui est le produit de 2 entiers ?)

- et je suppose que tes points noirs representent des nombres premiers, que vois tu de special dans leur repartition ?
Framboise
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Message non lu par Framboise »

Ce n'est pas très clair.

J'ai tenté de recalculer y=f(x), je n'obtiens pas la même chose, sur mon graphique j'ai des segments de droites à forte pente, mais pas verticale.

Je joins le fichier ( compressé en zip) contenant le calcul jusque x = 2000 selon l'extrait:
x;sqrt(x);floor(sqrt(x));ceil(sqrt(x));y
0;0.000;0;0;0
1;1.000;1;1;0
2;1.410;1;2;0
3;1.730;1;2;-1
4;2.000;2;2;0
5;2.240;2;3;1
...
à traiter par un tableur en format CSV. J'ai intercalé des calculs intermédiaires.

Je ne comprends pas l'idée que vous suivez, qui n'est pas claire pour moi.

Les propriétés intéressantes des nombres premiers ne manquent pas, voir:

http://primes.utm.edu/
http://www.utm.edu/staff/caldwell/
http://mathworld.wolfram.com/PrimeSpiral.html
Votre découverte a quelques similitudes avec la spirale précédente.

Voir le livres de Ribenboim sur les nombres premiers (en anglais), qui sont excellents.

Les nombres premiers excitent beaucoup l'intérêt, dont le mien, et de nombreux sites en parlent. Je ne peux que vous encourager dans cette voie passionnante, mais sans négliger les autres aspects des maths.
Pièces jointes
RecPrime.zip
Calculs y=f(x)
(12.84 Kio) Téléchargé 209 fois
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blizter

Message non lu par blizter »

Merci de vos réponses, je vais tenter de vous expliquer mieux.

Les rectangles parfait sont en fait tous les zéros de la fonctions, ce sont des nombres qui peuvent être obtenu soit par la mise au carré d'un nombre ou soit par la multiplication de deux nombres consécutif.

Ce que je trouve spéciale, c'est la ligne qu'on peut voir, c'est lorsque j'ai pu revoir la même ligne un peu plus loin que j'ai trouver ça fort intéressant.

C'est très normal les segments à fortes droites, c'est parce que justement, la fonction passe par zéro.
Les propriétés intéressantes des nombres premiers ne manquent pas
Je ne vois pas là une raison pour ne pas en trouver d'autres :wink:

Autre fait à noter, ces 'suites' qui forment des lignes, si on les continuait (on ne peut pas car les lignes sortent du graphique car ils ont une plus grande pente que la vitesse a laquelle la fonction augmente périodiquement) et bien on arriverait sur un nombre qui est un nombre premier au carré. c'est le gars de 23 à 101 qui si on continuait arriverait à 121 (11 au carré). Aussi le cas de 47 à 257 qui si on continuait le prochain nombre serait 289 (17 au carré) et si on continuait la troisième suite : 1681 (41 au carré). Vous pouvez aussi observez que c'est suite s'additionne sous une forme de c+2n : 23 + 8 = 31, 31 + 10 = 41, 41 + 12 = 53 et etc.


23-31-41-53-67-83-101

47-59-73-89-107-127-149-173-199-227-257

223-251-281-313-347-383-421-461-503-547-593-641-691-743-797-853-911-971
-1033-1097-1163-1231-1301-1373-1447-1523-1601

sont les 3 suites que j'ai observé. J'espère que c'est un peu plus clair. Désolé si je n'ai pas su l'être au premier message. :wink:
Framboise
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Message non lu par Framboise »

Cela reste très obscur....
Les rectangles parfait sont en fait tous les zéros de la fonctions, ce sont des nombres qui peuvent être obtenu soit par la mise au carré d'un nombre ou soit par la multiplication de deux nombres consécutif.
Les rectangles parfaits sont ... des nombres ???
Ce que je trouve spéciale, c'est la ligne qu'on peut voir, c'est lorsque j'ai pu revoir la même ligne un peu plus loin que j'ai trouver ça fort intéressant.
Pas compris. Quelle ligne ?
C'est très normal les segments à fortes droites, c'est parce que justement, la fonction passe par zéro.
Ah ! Il faudra démontrer cela. "fortes droites" ???
Citation:
Les propriétés intéressantes des nombres premiers ne manquent pas
Je ne vois pas là une raison pour ne pas en trouver d'autres
Moi non plus, cela doit pouvoir se faire. C'était un encouragement.
car ils ont une plus grande pente que la vitesse a laquelle la fonction augmente périodiquement
Pas compris.
le gars de 23 à 101
????

...

Je crois qu'il vaudra mieux reprendre tranquillement l'explication...
Je ne sais toujours pas ce que vous voulez (dé)montrer. Vous pouvez éventuellement expliquer en anglais si cela vous est plus facile, cela ne me gène pas, mais sans abuser car cela va faire râler.
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Message non lu par nirosis »

Framboise a écrit : Les rectangles parfaits sont ... des nombres ???
Sorte de généralisation des carrés parfaits... donc ca me semble judicieux que ce soient des nombres aussi.
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Message non lu par MB »

et les segments à fortes droites alors !? :P
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Message non lu par nirosis »

MB a écrit :et les segments à fortes droites alors !? :P
Ca c'est louche en effet ;) forte pente ?
MB
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Message non lu par MB »

nirosis a écrit :
MB a écrit :et les segments à fortes droites alors !? :P
Ca c'est louche en effet ;) forte pente ?
Possible oui.
Tu es très bon en déchiffrage toi !! :P
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Message non lu par Framboise »

forte pente ?
C'est ce que je soupçonne aussi.
Les rectangles parfaits sont ... des nombres ???
C'est l'impression que j'ai.

J'aimerais bien comprendre l'explication car les séquences de nombres premiers obtenus m'intriguent beaucoup et cette étude peut être intéressante. Je n'ai pas vérifié qu'ils soient premier pour le moment.
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Message non lu par nirosis »

MB a écrit :Possible oui.
Tu es très bon en déchiffrage toi !! :P
Je parle un petit peu québécois ;)

@Framboise: effectivement ca mérite d'être mis au clair, et voir si ça se tient.
blizter

Message non lu par blizter »

Bon d'accord, j'aurais dû me relire plus lentement :oops:

Donc je vais déchiffrer :
Les rectangles parfaits sont ... des nombres ???
Ce sont des nombres entiers qui peuvent être obtenu soit :
Par la mise au carré d'un nombre entier,
Par la multiplication de deux nombres entiers consécutif.
par example, 18 n'en est pas un, car il s'obtient par $18*1=18$ ou $6*3=18$
mais 20 en est un car il s'obtient par $4*5=20$
Pas compris. Quelle ligne ?
Sur l'image, on peut voir une sorte d'alignement des points noirs, qui correspondent aux nombres premiers de la première suite. Ce n'est pas une ligne dessiné, il faut l'imaginer :lol:
Ah ! Il faudra démontrer cela. "fortes droites" ???
«forte pente», desolé, j'avais un autre mot qui à quoi je pensais aux droites quand j'écrivais :? Aussi, les lignes sont verticales sur mon graphique uniquement parce que mon programme pour faire des graphiques, n'accepte pas la fonction de troncature à l'entier supérieur, donc j'ai dû mettre int(sqrt(x))+1 à la place :oops:
désolé, si quelqu'un connais un programme qui le fait, dites le moi s'il vous plait.
car ils ont une plus grande pente que la vitesse a laquelle la fonction augmente périodiquement
Pas compris.
Je veux dire que la pente des droites, qui sont formées par l'alignement des nombres premiers des suites (voir image), est plus forte que la façon qu'a la fonction à s'agrandir de plus en plus.
le gars de 23 à 101
«le cas», encore une fois, désolé.

J'ai redessiné pour que cela vous soit plus évident :
Image
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Message non lu par Framboise »

Cela s'éclaircit, il me faut maintenant trouver un moment pour étudier cela.

Quelques préliminaires:

Concernant ceil et int(sqrt(x))
floor(x) = INT(x)
ceil(x) = -INT(-x) en Qbasic.

ceil(sqrt(x)) => -INT(-SQR(x))

example QBASIC:
FUNCTION f (x)
f = INT(SQR(x)) * -INT(-SQR(x)) - x
END FUNCTION

Autre solution en C, il existe ceil et floor, ou _ceil et _floor selon le compilateur utilisé.
Quelques compilateurs sont abandonnés et disponibles gratuitement maintenant pour le MSDOS comme Turbo C 2.0 de Borland.
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Message non lu par nirosis »

Je ne vois pas ce qu'a de particulier le graphe qui relie les nombres premiers....
c'est une ligne droite ou quoi ? ca a l'air un peu droit, mais pas vraiment... c'est surement dû au fait que tu ne traces le truc seulement pour certains nombres 1er... si tu ne caractérises pas ça, je ne vois pas ce qu'apporte cette observation en fait.
A toi de nous montrer ;)
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Message non lu par Framboise »

Il me semble que les points sont à l'intersection de la courbe en dent de scie et des valeurs entières de l'axe y.
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Message non lu par Framboise »

J'ai repris les séries:

J'ai ajouté:
$7+k*4+k*(k-1)$, k de 0 à 2 =>
7, 11, 17

$23+k*8+k*(k-1)$, k de 0 à 6 =>
23, 31, 41, 53, 67, 83, 101

$47+k*12+k*(k-1)$, k de 0 à 10 =>
47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227, 257


$223+k*28+k*(k-1)$, k de 0 à 26 =>
223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547,
593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971,1033, 1097,
1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

C'est la série d'Euler $ X^2 + X + 41 $ ...
Voir Paulo Ribenboim: The New book of Prime Number Records page 199


J'ai tenté:
$79+k*16+k*(k-1)$, k de 0 à 14 =>
79, 95, 113, 133, 155, 179, 205, 233, 263, 295, 329, 365, 403, 443

$119+k*20+k*(k-1)$, k de 0 à 18 =>
119, 139, 161, 185, 211, 239, 269, 301, 335, 371, 409, 449, 491, 535, 581,629, 679, 731, 785


Curieusement, après les nombres rectangulaires, on retrouve cette fois les nombres triangulaires n(n-1)/2 doublés.
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Message non lu par nirosis »

Framboise a écrit :Il me semble que les points sont à l'intersection de la courbe en dent de scie et des valeurs entières de l'axe y.
ah ok j'avais pas vu ;)
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