Observation intérressante au niveau des nombres premiers
Observation intérressante au niveau des nombres premiers
Bonjour à tous,
Je suis un étudiant en secondaire 5 du Québec, équivalent de la première année de lycée. Récemment j'ai commencé à m'intéresser aux nombres premiers, j'ai essayer tout plein de calculs qui ont abouti à rien, mais un jour j'eus une idée. On observe souvent des nombres premiers qui sont +1 ou -1 de nombres parfaits, alors j'ai observer la formule :
$$y=(floor(sqrt(x))*ceil(sqrt(x)))-x$$
Cette formule représente comme je l'appelle la différence qu'a le nombre avec le ''rectangle parfait'' le plus proche (je ne savais pas trop comment appeler ça).
Ex : 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36 sont des "rectangles parfaits"
Donc en traçant cette fonction, et en plaçant les nombre premiers dessus, j'ai pu remarquer des sortes de suites linéaires de nombres premiers. Une commence à 23 et se termine à 101.
C'est beaucoup plus facile a visualiser lorsque qu'on le voit. Je peux essayer de faire une image. Ce qui est intéressant, c'est le fait que ces "suites" de nombres semblent périodiques.
Voici une image qui montre la suite 23, 101 il y en a d'autres, croyez moi.
Image ici
Qu'en dites-vous ?
:? [/img]
Je suis un étudiant en secondaire 5 du Québec, équivalent de la première année de lycée. Récemment j'ai commencé à m'intéresser aux nombres premiers, j'ai essayer tout plein de calculs qui ont abouti à rien, mais un jour j'eus une idée. On observe souvent des nombres premiers qui sont +1 ou -1 de nombres parfaits, alors j'ai observer la formule :
$$y=(floor(sqrt(x))*ceil(sqrt(x)))-x$$
Cette formule représente comme je l'appelle la différence qu'a le nombre avec le ''rectangle parfait'' le plus proche (je ne savais pas trop comment appeler ça).
Ex : 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36 sont des "rectangles parfaits"
Donc en traçant cette fonction, et en plaçant les nombre premiers dessus, j'ai pu remarquer des sortes de suites linéaires de nombres premiers. Une commence à 23 et se termine à 101.
C'est beaucoup plus facile a visualiser lorsque qu'on le voit. Je peux essayer de faire une image. Ce qui est intéressant, c'est le fait que ces "suites" de nombres semblent périodiques.
Voici une image qui montre la suite 23, 101 il y en a d'autres, croyez moi.
Image ici
Qu'en dites-vous ?
:? [/img]
Dernière modification par blizter le dimanche 03 juin 2007, 16:41, modifié 1 fois.
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Ce n'est pas très clair.
J'ai tenté de recalculer y=f(x), je n'obtiens pas la même chose, sur mon graphique j'ai des segments de droites à forte pente, mais pas verticale.
Je joins le fichier ( compressé en zip) contenant le calcul jusque x = 2000 selon l'extrait:
x;sqrt(x);floor(sqrt(x));ceil(sqrt(x));y
0;0.000;0;0;0
1;1.000;1;1;0
2;1.410;1;2;0
3;1.730;1;2;-1
4;2.000;2;2;0
5;2.240;2;3;1
...
à traiter par un tableur en format CSV. J'ai intercalé des calculs intermédiaires.
Je ne comprends pas l'idée que vous suivez, qui n'est pas claire pour moi.
Les propriétés intéressantes des nombres premiers ne manquent pas, voir:
http://primes.utm.edu/
http://www.utm.edu/staff/caldwell/
http://mathworld.wolfram.com/PrimeSpiral.html
Votre découverte a quelques similitudes avec la spirale précédente.
Voir le livres de Ribenboim sur les nombres premiers (en anglais), qui sont excellents.
Les nombres premiers excitent beaucoup l'intérêt, dont le mien, et de nombreux sites en parlent. Je ne peux que vous encourager dans cette voie passionnante, mais sans négliger les autres aspects des maths.
J'ai tenté de recalculer y=f(x), je n'obtiens pas la même chose, sur mon graphique j'ai des segments de droites à forte pente, mais pas verticale.
Je joins le fichier ( compressé en zip) contenant le calcul jusque x = 2000 selon l'extrait:
x;sqrt(x);floor(sqrt(x));ceil(sqrt(x));y
0;0.000;0;0;0
1;1.000;1;1;0
2;1.410;1;2;0
3;1.730;1;2;-1
4;2.000;2;2;0
5;2.240;2;3;1
...
à traiter par un tableur en format CSV. J'ai intercalé des calculs intermédiaires.
Je ne comprends pas l'idée que vous suivez, qui n'est pas claire pour moi.
Les propriétés intéressantes des nombres premiers ne manquent pas, voir:
http://primes.utm.edu/
http://www.utm.edu/staff/caldwell/
http://mathworld.wolfram.com/PrimeSpiral.html
Votre découverte a quelques similitudes avec la spirale précédente.
Voir le livres de Ribenboim sur les nombres premiers (en anglais), qui sont excellents.
Les nombres premiers excitent beaucoup l'intérêt, dont le mien, et de nombreux sites en parlent. Je ne peux que vous encourager dans cette voie passionnante, mais sans négliger les autres aspects des maths.
- Pièces jointes
-
- RecPrime.zip
- Calculs y=f(x)
- (12.84 Kio) Téléchargé 209 fois
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Merci de vos réponses, je vais tenter de vous expliquer mieux.
Les rectangles parfait sont en fait tous les zéros de la fonctions, ce sont des nombres qui peuvent être obtenu soit par la mise au carré d'un nombre ou soit par la multiplication de deux nombres consécutif.
Ce que je trouve spéciale, c'est la ligne qu'on peut voir, c'est lorsque j'ai pu revoir la même ligne un peu plus loin que j'ai trouver ça fort intéressant.
C'est très normal les segments à fortes droites, c'est parce que justement, la fonction passe par zéro.
Autre fait à noter, ces 'suites' qui forment des lignes, si on les continuait (on ne peut pas car les lignes sortent du graphique car ils ont une plus grande pente que la vitesse a laquelle la fonction augmente périodiquement) et bien on arriverait sur un nombre qui est un nombre premier au carré. c'est le gars de 23 à 101 qui si on continuait arriverait à 121 (11 au carré). Aussi le cas de 47 à 257 qui si on continuait le prochain nombre serait 289 (17 au carré) et si on continuait la troisième suite : 1681 (41 au carré). Vous pouvez aussi observez que c'est suite s'additionne sous une forme de c+2n : 23 + 8 = 31, 31 + 10 = 41, 41 + 12 = 53 et etc.
23-31-41-53-67-83-101
47-59-73-89-107-127-149-173-199-227-257
223-251-281-313-347-383-421-461-503-547-593-641-691-743-797-853-911-971
-1033-1097-1163-1231-1301-1373-1447-1523-1601
sont les 3 suites que j'ai observé. J'espère que c'est un peu plus clair. Désolé si je n'ai pas su l'être au premier message.
Les rectangles parfait sont en fait tous les zéros de la fonctions, ce sont des nombres qui peuvent être obtenu soit par la mise au carré d'un nombre ou soit par la multiplication de deux nombres consécutif.
Ce que je trouve spéciale, c'est la ligne qu'on peut voir, c'est lorsque j'ai pu revoir la même ligne un peu plus loin que j'ai trouver ça fort intéressant.
C'est très normal les segments à fortes droites, c'est parce que justement, la fonction passe par zéro.
Je ne vois pas là une raison pour ne pas en trouver d'autresLes propriétés intéressantes des nombres premiers ne manquent pas
Autre fait à noter, ces 'suites' qui forment des lignes, si on les continuait (on ne peut pas car les lignes sortent du graphique car ils ont une plus grande pente que la vitesse a laquelle la fonction augmente périodiquement) et bien on arriverait sur un nombre qui est un nombre premier au carré. c'est le gars de 23 à 101 qui si on continuait arriverait à 121 (11 au carré). Aussi le cas de 47 à 257 qui si on continuait le prochain nombre serait 289 (17 au carré) et si on continuait la troisième suite : 1681 (41 au carré). Vous pouvez aussi observez que c'est suite s'additionne sous une forme de c+2n : 23 + 8 = 31, 31 + 10 = 41, 41 + 12 = 53 et etc.
23-31-41-53-67-83-101
47-59-73-89-107-127-149-173-199-227-257
223-251-281-313-347-383-421-461-503-547-593-641-691-743-797-853-911-971
-1033-1097-1163-1231-1301-1373-1447-1523-1601
sont les 3 suites que j'ai observé. J'espère que c'est un peu plus clair. Désolé si je n'ai pas su l'être au premier message.
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Cela reste très obscur....
...
Je crois qu'il vaudra mieux reprendre tranquillement l'explication...
Je ne sais toujours pas ce que vous voulez (dé)montrer. Vous pouvez éventuellement expliquer en anglais si cela vous est plus facile, cela ne me gène pas, mais sans abuser car cela va faire râler.
Les rectangles parfaits sont ... des nombres ???Les rectangles parfait sont en fait tous les zéros de la fonctions, ce sont des nombres qui peuvent être obtenu soit par la mise au carré d'un nombre ou soit par la multiplication de deux nombres consécutif.
Pas compris. Quelle ligne ?Ce que je trouve spéciale, c'est la ligne qu'on peut voir, c'est lorsque j'ai pu revoir la même ligne un peu plus loin que j'ai trouver ça fort intéressant.
Ah ! Il faudra démontrer cela. "fortes droites" ???C'est très normal les segments à fortes droites, c'est parce que justement, la fonction passe par zéro.
Moi non plus, cela doit pouvoir se faire. C'était un encouragement.Citation:
Les propriétés intéressantes des nombres premiers ne manquent pas
Je ne vois pas là une raison pour ne pas en trouver d'autres
Pas compris.car ils ont une plus grande pente que la vitesse a laquelle la fonction augmente périodiquement
????le gars de 23 à 101
...
Je crois qu'il vaudra mieux reprendre tranquillement l'explication...
Je ne sais toujours pas ce que vous voulez (dé)montrer. Vous pouvez éventuellement expliquer en anglais si cela vous est plus facile, cela ne me gène pas, mais sans abuser car cela va faire râler.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
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Sorte de généralisation des carrés parfaits... donc ca me semble judicieux que ce soient des nombres aussi.Framboise a écrit : Les rectangles parfaits sont ... des nombres ???
nirosis
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Ca c'est louche en effet ;) forte pente ?MB a écrit :et les segments à fortes droites alors !?
nirosis
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C'est ce que je soupçonne aussi.forte pente ?
C'est l'impression que j'ai.Les rectangles parfaits sont ... des nombres ???
J'aimerais bien comprendre l'explication car les séquences de nombres premiers obtenus m'intriguent beaucoup et cette étude peut être intéressante. Je n'ai pas vérifié qu'ils soient premier pour le moment.
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Je parle un petit peu québécois ;)MB a écrit :Possible oui.
Tu es très bon en déchiffrage toi !!
@Framboise: effectivement ca mérite d'être mis au clair, et voir si ça se tient.
nirosis
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Bon d'accord, j'aurais dû me relire plus lentement
Donc je vais déchiffrer :
Par la mise au carré d'un nombre entier,
Par la multiplication de deux nombres entiers consécutif.
par example, 18 n'en est pas un, car il s'obtient par $18*1=18$ ou $6*3=18$
mais 20 en est un car il s'obtient par $4*5=20$
désolé, si quelqu'un connais un programme qui le fait, dites le moi s'il vous plait.
J'ai redessiné pour que cela vous soit plus évident :
Donc je vais déchiffrer :
Ce sont des nombres entiers qui peuvent être obtenu soit :Les rectangles parfaits sont ... des nombres ???
Par la mise au carré d'un nombre entier,
Par la multiplication de deux nombres entiers consécutif.
par example, 18 n'en est pas un, car il s'obtient par $18*1=18$ ou $6*3=18$
mais 20 en est un car il s'obtient par $4*5=20$
Sur l'image, on peut voir une sorte d'alignement des points noirs, qui correspondent aux nombres premiers de la première suite. Ce n'est pas une ligne dessiné, il faut l'imaginerPas compris. Quelle ligne ?
«forte pente», desolé, j'avais un autre mot qui à quoi je pensais aux droites quand j'écrivais :? Aussi, les lignes sont verticales sur mon graphique uniquement parce que mon programme pour faire des graphiques, n'accepte pas la fonction de troncature à l'entier supérieur, donc j'ai dû mettre int(sqrt(x))+1 à la placeAh ! Il faudra démontrer cela. "fortes droites" ???
désolé, si quelqu'un connais un programme qui le fait, dites le moi s'il vous plait.
Je veux dire que la pente des droites, qui sont formées par l'alignement des nombres premiers des suites (voir image), est plus forte que la façon qu'a la fonction à s'agrandir de plus en plus.Pas compris.car ils ont une plus grande pente que la vitesse a laquelle la fonction augmente périodiquement
«le cas», encore une fois, désolé.le gars de 23 à 101
J'ai redessiné pour que cela vous soit plus évident :
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Cela s'éclaircit, il me faut maintenant trouver un moment pour étudier cela.
Quelques préliminaires:
Concernant ceil et int(sqrt(x))
floor(x) = INT(x)
ceil(x) = -INT(-x) en Qbasic.
ceil(sqrt(x)) => -INT(-SQR(x))
example QBASIC:
FUNCTION f (x)
f = INT(SQR(x)) * -INT(-SQR(x)) - x
END FUNCTION
Autre solution en C, il existe ceil et floor, ou _ceil et _floor selon le compilateur utilisé.
Quelques compilateurs sont abandonnés et disponibles gratuitement maintenant pour le MSDOS comme Turbo C 2.0 de Borland.
Quelques préliminaires:
Concernant ceil et int(sqrt(x))
floor(x) = INT(x)
ceil(x) = -INT(-x) en Qbasic.
ceil(sqrt(x)) => -INT(-SQR(x))
example QBASIC:
FUNCTION f (x)
f = INT(SQR(x)) * -INT(-SQR(x)) - x
END FUNCTION
Autre solution en C, il existe ceil et floor, ou _ceil et _floor selon le compilateur utilisé.
Quelques compilateurs sont abandonnés et disponibles gratuitement maintenant pour le MSDOS comme Turbo C 2.0 de Borland.
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Je ne vois pas ce qu'a de particulier le graphe qui relie les nombres premiers....
c'est une ligne droite ou quoi ? ca a l'air un peu droit, mais pas vraiment... c'est surement dû au fait que tu ne traces le truc seulement pour certains nombres 1er... si tu ne caractérises pas ça, je ne vois pas ce qu'apporte cette observation en fait.
A toi de nous montrer ;)
c'est une ligne droite ou quoi ? ca a l'air un peu droit, mais pas vraiment... c'est surement dû au fait que tu ne traces le truc seulement pour certains nombres 1er... si tu ne caractérises pas ça, je ne vois pas ce qu'apporte cette observation en fait.
A toi de nous montrer ;)
nirosis
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J'ai repris les séries:
J'ai ajouté:
$7+k*4+k*(k-1)$, k de 0 à 2 =>
7, 11, 17
$23+k*8+k*(k-1)$, k de 0 à 6 =>
23, 31, 41, 53, 67, 83, 101
$47+k*12+k*(k-1)$, k de 0 à 10 =>
47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227, 257
$223+k*28+k*(k-1)$, k de 0 à 26 =>
223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547,
593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971,1033, 1097,
1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601
C'est la série d'Euler $ X^2 + X + 41 $ ...
Voir Paulo Ribenboim: The New book of Prime Number Records page 199
J'ai tenté:
$79+k*16+k*(k-1)$, k de 0 à 14 =>
79, 95, 113, 133, 155, 179, 205, 233, 263, 295, 329, 365, 403, 443
$119+k*20+k*(k-1)$, k de 0 à 18 =>
119, 139, 161, 185, 211, 239, 269, 301, 335, 371, 409, 449, 491, 535, 581,629, 679, 731, 785
Curieusement, après les nombres rectangulaires, on retrouve cette fois les nombres triangulaires n(n-1)/2 doublés.
J'ai ajouté:
$7+k*4+k*(k-1)$, k de 0 à 2 =>
7, 11, 17
$23+k*8+k*(k-1)$, k de 0 à 6 =>
23, 31, 41, 53, 67, 83, 101
$47+k*12+k*(k-1)$, k de 0 à 10 =>
47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227, 257
$223+k*28+k*(k-1)$, k de 0 à 26 =>
223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547,
593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971,1033, 1097,
1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601
C'est la série d'Euler $ X^2 + X + 41 $ ...
Voir Paulo Ribenboim: The New book of Prime Number Records page 199
J'ai tenté:
$79+k*16+k*(k-1)$, k de 0 à 14 =>
79, 95, 113, 133, 155, 179, 205, 233, 263, 295, 329, 365, 403, 443
$119+k*20+k*(k-1)$, k de 0 à 18 =>
119, 139, 161, 185, 211, 239, 269, 301, 335, 371, 409, 449, 491, 535, 581,629, 679, 731, 785
Curieusement, après les nombres rectangulaires, on retrouve cette fois les nombres triangulaires n(n-1)/2 doublés.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
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ah ok j'avais pas vu ;)Framboise a écrit :Il me semble que les points sont à l'intersection de la courbe en dent de scie et des valeurs entières de l'axe y.
nirosis
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