Permutation pour inversion de Laplace
Permutation pour inversion de Laplace
bonjour tout le monde,
J'ai besoin de vos lumières sur un problème particulier. En effet, j'aimerais savoir dans quels cas l'inverse en laplace d'une intégrale est égale à l'intégrale de l'inverse. Globalement j'ai cette formule :
$$F(s)= \ds\int_{0}^{\infty} P( \alpha,s) * G(\alpha) d\alpha$$
formule que je dois ensuite inverser pour revenir dans le domaine temporelle. Il serait plus facile pour moi, cependant d'inverser seulement $P(\alpha,s)$ et d'intégrer ensuite suivant $\alpha$ . Quelles sont les conditions sur la fonction à intégrer pour pouvoir faire cela ?
Je vous remercie pour votre aide
J'ai besoin de vos lumières sur un problème particulier. En effet, j'aimerais savoir dans quels cas l'inverse en laplace d'une intégrale est égale à l'intégrale de l'inverse. Globalement j'ai cette formule :
$$F(s)= \ds\int_{0}^{\infty} P( \alpha,s) * G(\alpha) d\alpha$$
formule que je dois ensuite inverser pour revenir dans le domaine temporelle. Il serait plus facile pour moi, cependant d'inverser seulement $P(\alpha,s)$ et d'intégrer ensuite suivant $\alpha$ . Quelles sont les conditions sur la fonction à intégrer pour pouvoir faire cela ?
Je vous remercie pour votre aide
Re: Permutation pour inversion de Laplace
bonjour,
Il existe des jolies formules qui permettent de calculer $f(t)$ en fonction de $F$ mais celles-ci utilisent la théorie des fonctions de variables complexes, et je doute qu'en prépa tu connaisses cette théorie......
En pratique, on se contente d'utiliser les tableaux de transformées de Laplace et les propriétés relatives à la convolution, la dérivation, le retard, la valeur initiale, etc....
Ai-je bien répondu à ta question
si je comprends bien ta question, tu cherches à déterminer l'originale d'une fonction en $s$, qui est une transformée de Laplace.... en clair, tu cherches $f$ tel que $\mathcal{L}(f)=F(s)$ où $F$ est donnée...adenlan a écrit : En effet, j'aimerais savoir dans quels cas l'inverse en laplace d'une intégrale est égale à l'intégrale de l'inverse.
Il existe des jolies formules qui permettent de calculer $f(t)$ en fonction de $F$ mais celles-ci utilisent la théorie des fonctions de variables complexes, et je doute qu'en prépa tu connaisses cette théorie......
En pratique, on se contente d'utiliser les tableaux de transformées de Laplace et les propriétés relatives à la convolution, la dérivation, le retard, la valeur initiale, etc....
Ai-je bien répondu à ta question
Pas d'aide par MP.
Merci pour votre réponse mais en fait dans ma formule précédente je connais l'inverse de P, donc ce que je voudrais savoir ce sont les conditions pour lesquelles :$$L_-1(F)= \int _0^\infty L_-1(P(\alpha,s))*G(\alpha) d\alpha$$
On pourrait dire que cela se ramène à une permutation d'intégrale. Numériquement, l'égalité est vérifiée mais je cherche un support théorique.
De même, je cherche aussi à vérifier les limites (pour voir si les conditions initiales sont vérifiés) est ce que $$ \ds\lim_{s \rightarrow +\infty} sF= \int _0^\infty \lim_{s \rightarrow +\infty}(sP(\alpha,s))*G(\alpha) d\alpha $$
Je vous remercie pour le support que vous saurez m'apporter.
Je vous prie aussi de ne pas m'épargner les résultats qui ne seraient pas dispensés dans ma scolarité.
Merci
On pourrait dire que cela se ramène à une permutation d'intégrale. Numériquement, l'égalité est vérifiée mais je cherche un support théorique.
De même, je cherche aussi à vérifier les limites (pour voir si les conditions initiales sont vérifiés) est ce que $$ \ds\lim_{s \rightarrow +\infty} sF= \int _0^\infty \lim_{s \rightarrow +\infty}(sP(\alpha,s))*G(\alpha) d\alpha $$
Je vous remercie pour le support que vous saurez m'apporter.
Je vous prie aussi de ne pas m'épargner les résultats qui ne seraient pas dispensés dans ma scolarité.
Merci
Je ne comprends pas bien tes notations : c'est qui ton $L_{-1}$ et $G$ et $P$ car là je ne te suis pas
La théorie des fonctions de la variable complexe te sera exposée plus tard dans ta scolarité, je doute que ce soit en prépa...adenlan a écrit : Je vous prie aussi de ne pas m'épargner les résultats qui ne seraient pas dispensés dans ma scolarité.
Merci
Pas d'aide par MP.
$L_-1$ est l'opérateur de transformée inverse P et G sont les fonctions sous l'intégrale(voir mon premier post).
S'il vous plaît, je préférerais que l'on me réponde, ou que l'on m'oriente vers une source plutôt que de me voir dire "ton niveau prépa n'est pas suffisant"...
Il semblerait que le fait que je sois en CPGE vous gêne, aussi je vous prie d'oublier cela et au possible de me répondre (il ne tient qu'à moi de comprendre)
Je vous remercie...
S'il vous plaît, je préférerais que l'on me réponde, ou que l'on m'oriente vers une source plutôt que de me voir dire "ton niveau prépa n'est pas suffisant"...
Il semblerait que le fait que je sois en CPGE vous gêne, aussi je vous prie d'oublier cela et au possible de me répondre (il ne tient qu'à moi de comprendre)
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$L_{-1}$
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Un peu d'autopromotion.
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bonjour,
tes notations me gênent car pour moi, on a $\mathcal{L}(f)(s)=F(s)=\ds\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)dt$, ce qui est la transformée de Laplace de la fonction $f$...
Ensuite, si tu veux réellement la formule pour "inverser" ceci, il faut faire appel à la transformée de Mellin-Fourier qui est définie pour une fonction holomorphe $F(z)$ pour $Re(z)>c$ et tel que dans ce demi-plan, $\ds\lim_{|z|\rightarrow +\infty}|F(z)|=0$
La transformée de Mellin Fourier est $f_L(t)=\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_{\Delta_+}e^{zt}F(z)dz$ où $\Delta_+$ est la droite $Re(z)=p_0=c$, parcourue dans le sens croissant...
alors $f_L$ est dans la classe d'équivalence des fonctions presque partout égales à l'originale de $F$... voilà; .... je ne sais si tu as tout compris mais voilà comment il faudrait procéder pour inverser la transformée de Laplace, sachant que ce procédé n'est quasiment jamais utilisé...
tes notations me gênent car pour moi, on a $\mathcal{L}(f)(s)=F(s)=\ds\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)dt$, ce qui est la transformée de Laplace de la fonction $f$...
Ensuite, si tu veux réellement la formule pour "inverser" ceci, il faut faire appel à la transformée de Mellin-Fourier qui est définie pour une fonction holomorphe $F(z)$ pour $Re(z)>c$ et tel que dans ce demi-plan, $\ds\lim_{|z|\rightarrow +\infty}|F(z)|=0$
La transformée de Mellin Fourier est $f_L(t)=\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_{\Delta_+}e^{zt}F(z)dz$ où $\Delta_+$ est la droite $Re(z)=p_0=c$, parcourue dans le sens croissant...
alors $f_L$ est dans la classe d'équivalence des fonctions presque partout égales à l'originale de $F$... voilà; .... je ne sais si tu as tout compris mais voilà comment il faudrait procéder pour inverser la transformée de Laplace, sachant que ce procédé n'est quasiment jamais utilisé...
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