Proposition I à démontrer

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AVICENNA

Proposition I à démontrer

Message non lu par AVICENNA »

Qui peut nous faire la démonstration de la proposition suivante en n’y faisant usage que du simple outil de la géométrie pure, c'est-à-dire de celui même des anciens ?

La proposition :
Si une droite D est partagée en ses deux parties égales, celles-ci comprendront le plus grand rectangle de tous les rectangles qui sont compris entre les différentes parties de cette droite pour d’autres partages autre que le partage en ses deux parties égales.
guiguiche
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Re: Proposition I à démontrer

Message non lu par guiguiche »

AVICENNA a écrit :Qui peut nous faire la démonstration de la proposition suivante en n’y faisant usage que du simple outil de la géométrie pure, c'est-à-dire de celui même des anciens ?
Pour quel niveau ? Qu'as-tu déjà fait ?
AVICENNA a écrit : La proposition :
Si une droite D est partagée en ses deux parties égales,
Tout point de la droite la partage en deux "parties égales".
AVICENNA a écrit :celles-ci comprendront le plus grand rectangle de tous les rectangles qui sont compris entre les différentes parties de cette droite pour d’autres partages autre que le partage en ses deux parties égales.
Je n'ai rien compris.
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rebouxo
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Message non lu par rebouxo »

Sauf chez Euclide. Il n'y pas de droite au sens moderne chez papa Euclide, mais uniquement des segments prolongeables.

Olivier
Bruno

Message non lu par Bruno »

Bonjour.

Il suffit d'un petit puzzle, voir figure jointe, le rectangle rouge a pour longueur le côté du carré réunion du rectangle rouge et du rectangle blanc. Le rectangle vert a même largeur que le rectangle rouge mais sa longueur est moindre que le côté du carré. La surface du rectangle rouge est donc plus grande que celle du rectangle vert. La surface du carré, qui est la somme de celle du rectangle blanc et du rectangle rouge est donc plus grande que celle du rectangle de même périmètre, $2a,$ obtenu avec les rectangles blanc et vert.
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Bruno

Message non lu par Bruno »

Re bonjour.

Comme quoi on peut être familier avec une figure pendant 50 ans et ne pas y voir l'essentiel.

Tout le monde connaît cette relation caractéristique du triangle rectangle : $AH^2 = HB \ldotp HC$ (si $H$ appartient au segment $[BC]$). Donc l'aire du rectangle dont les côtés ont pour longueurs respectives $HB$ et $HC$ est la même que celle du carré de côté $AH$ (c'est toujours ainsi que j'ai considéré cette figure : quadrature du rectangle). Or l'aire du carré de côté $OI$ est évidemment strictement supérieure à celle du carré de côté $AH$ si $H \neq I$.
Pièces jointes
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Dernière modification par Bruno le jeudi 05 juillet 2007, 09:42, modifié 2 fois.
AVICENNA

Message non lu par AVICENNA »

Justement répondu Bruno ! Mais il faudra ajouter ces quelques précisions :

Soit la droite BC donnée. Décrire sur celle-ci le segment du cercle B I C qui reçoive un angle égal à un angle droit (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 33, Liber III). Or ce segment est un demi cercle (EUCLIDE, Les Eléments, Les Eléments, Proposition 31, Liber III). D’un point quelconque H sur B C autre que O qui divise en deux parties égales le diamètre B C, élevons la perpendiculaire H A (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 11, Liber I ; demande 1). Puis joignons B A, A C (EUCLIDE, Les Eléments, demande 1). IL est évident que le triangle B A C est droit en A (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 21, Liber III). Ensuite élevons du centre O le demi diamètre O I perpendiculairement à B C (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 11, Liber I ; demande 1) ; et imaginons aussi le rectangle B I C rectangle en I (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 21, Liber III). Ainsi le rectangle compris entre B O et O C est il égal au quarré du demi diamètre O I, et le rectangle compris entre B H et H C est il aussi égal au quarré de A H (EUCLIDE, Les Eléments, corollaire de la proposition 8, Liber VI). Or I O est plus grand que A H (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 15, Liber III) ; donc le quarré de I O est plus grand que le quarré de A H, c'est-à-dire que le rectangle compris entre les deux parties égales BO, O C, est plus grand que celui compris entres les deux parties inégales B H, H C. Ce qu’il fallait démontrer.

N.B : Les renvois aux propositions d’Euclide, ont été faits d’après la traduction française de F.Peyrard des Eléments.
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Inutile d'écrire en gras, on peut lire une police normale.
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Message non lu par Tryphon »

AVICENNA, Bruno est certainement l'une des personnes les plus calées en Géométrie que tu trouveras sur des forums français. Il a lu Euclide depuis ses 6 ans (et c'était il y a longtemps), et en prend toujours un tome pour s'occuper sur la plage entre deux baignades, alors ne lui fais pas de leçon de géométrie, c'est assez ridicule... 8)
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La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
Bruno

Message non lu par Bruno »

Mais non Tryphon, contrairement à Blaise Pascal, je n'ai pas eu de soeur pour décrire mes exploits, mais à l'âge de six ans j'avais retrouvé tout seul les trente trois premières propositions du livre I d'Euclide :lol:

Ceci dit, merci de prendre ma défense, je n'avais nullement l'intention de répliquer à ce personnage. Quant à ton éloge, elle me fait rougir :oops:

Amitiés
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

[flood] Tant que vous y êtes à vous congratuler entre modo de les-maths.net, pourquoi il marche plus votre forum depuis 4 jours ? [/flood]
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Bruno

Message non lu par Bruno »

Quatre jours ? Tu est dur, depuis le 3 juillet à 12h. C'était pour fêter l'independance day. Il est partiellement rétabli mais la convalescence peut-être longue car tout repose sur les épaules de Manu qui a mis un mot explicatif.
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Ah ben, à l'instant ça remarche. Mais je n'avais vu aucun mot explicatif. :oops:
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