Nouvelle démonstration de la proposition 26.Liber X.

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AVICENNA

Nouvelle démonstration de la proposition 26.Liber X.

Message non lu par AVICENNA »

Nouvelle démonstration de la proposition 26.Liber X. des éléments d’Euclide

Je vous propose ici une nouvelle démonstration de la proposition 26.Liber X des éléments d’Euclide, laquelle nouvelle démonstration est complètement de notre propre conception. Mais il faut d’abord que je vous en donne, et l’énoncé, et la démonstration même d’Euclide :

Proposition 26.liber X
Le rectangle compris sous des droites médiales commensurables en puissance seulement, est ou rationnel ou médial.

Démonstration :

Que le rectangle AF soit compris sous les droites médiales AB, BF, commensurables en puissance seulement ; je dis que AF est ou rationnel ou médial.

Car décrivons sur les droites AB, BF les quarrés AD, BE ; chacun des quarrés AD, BE sera médial. Soit la rationnelle ZH ; appliquons à ZH le parallélogramme rectangle HO, qui ayant ZO pour largeur, soit égal à AD ; appliquons aussi à OM le parallélogramme rectangle MK, qui ayant OK pour largeur, soit égal à AF, et enfin appliquons semblablement à KN le parallélogramme rectangle NV, qui ayant KV pour largeur, soit égal à BE (45.I) ; les droites ZO, OK, KV seront en ligne droite (14.I). Puisque chacun des quarrés AD, BE est médial ; que AD est égal à HO, et BE égal à NV, chacun des rectangles HO, NV sera médial ; mais ils sont appliqués sur la rationnelle ZH ; donc chacune des droites ZO, KV est rationnelle et incommensurable en longueur avec ZH (23.X). Mais AD est commensurable avec BE ; donc HO est commensurable avec NV. Mais HO est à NV comme ZO est à KV (1.VI) ; donc ZO est commensurable en longueur avec KV (10.X) ; donc les droites ZO, KV sont des rationnelles commensurables en longueur ; le rectangle sous ZO, KV est donc rationnel. Et puisque BD est égal à BA, et XB égal à BF, DB sera à BF comme AB est à BX ; mais DB est à BF comme DA est à AF, et AB est à BX comme AF est à FX (1.VI) ; donc DA est à AF comme AF est à FX. Mais AD est égal à HO, AF égal à MK, et FX égal à NV ; donc HO est à MK comme MK est à NV ; donc ZO est à OK comme OK est à KV ; le rectangle compris sous ZO, KV est donc égal au quarré de OK (17.VI). Mais le rectangle sous ZO, KV est rationnel (20.X) ; donc le quarré de OK est rationnel ; donc la droite OK est rationnelle. Et si OK est commensurable en longueur avec ZH, la surface ON sera rationnelle. Mais si OK est incommensurable en longueur avec ZH, la surface ON sera rationnelle. Mais si OK est incommensurable en longueur avec ZH, les droites KO, OM seront des rationnelles commensurables en puissance seulement, et la surface ON sera médiale (22.X) ; donc ON est rationnel ou médial. Mais ON est égal à AF ; donc AF est ou rationnel ou médial. Donc, etc.


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Notre autre démonstration


Que le rectangle HOVM soit compris sous les droites médiales HO, OV commensurables en puissance seulement. Décrivons sur la droite OV le quarré OVKZ, et sur la droite OH le quarré OHNY (46.I). Il est évident que les droites ZO, OH sont en ligne droite, ainsi que les droites VO, OY (14.I). Soit la droite rationnelle BF ; appliquons à BF le parallélogramme rectangle BFEX, qui ayant BX pour largeur, soit égal au quarré OVKZ ; donc BX est une rationnelle incommensurable en largeur avec BF (23.X). Puis appliquons sur cette même droite BF, et de l’autre côte, le parallélogramme rectangle BFWA, qui ayant BA pour largeur, soit égal au rectangle HOVM. Il est évident que les droites XB, BA sont en ligne droite (14.I). De même, appliquons à BA le parallélogramme rectangle BAQD, qui ayant BD pour largeur, soit égal au quarré OHNY. Il est évident aussi que les droites FB, BD sont en ligne droite (14.I). Or puisque BFEX est égal à OVKZ, et que AWFB est égal à HMVO, BFEX est à AWFB comme OVKZ est à HMVO (16.V) ; et puisque ABDQ est égal à HOYN, AWFB aura avec ABDQ la même raison que HMVO a avec HOYN. Mais XB est à BA comme BFEX à AWFB, BF est à BD comme AWFB est à ABDQ (1.VI) ; et de même Z O est à OH comme OVKZ est à HMVO, et OV est à OY comme HMVO est à NHOY ; donc XB est à BA comme ZO à OH, et FB est à BD comme VO à OY. Mais ZO est à OH, comme VO est à OY ; donc XB est à BA, comme FB est à BD ; donc le rectangle BFEX est au rectangle ABDQ, comme le quarré BF est au quarré BD (23.VI). Mais BFEX est commensurable avec ABDQ, donc le quarré BF est commensurable avec le quarré BD ; donc le quarré BD est rationnelle (Définition 9.X) ; donc BD est rationnelle, et elle est incommensurable en longueur avec BA, car ABDQ est une médiale. Et puisque DB la rationnelle a avec BF la rationnelle, la même raison qu’a XB la rationnelle, avec BA ; BA est donc une droite rationnelle (Définition 9.X), qui peut être ou commensurable en longueur avec BF la rationnelle, alors AWFB, c'est-à-dire HMVO sera rationnelle ; ou incommensurable en longueur avec BF, alors AWFB sera une médiale (22.X), c'est-à-dire HMVO sera une médiale. Donc, etc.



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Khayrallah lotfi


Tunisie 2/07/2007




Khayrallah lotfi
Chercheur en philosophie (Tunisie).
21/02/1965
Site personnel : Membres.lycos.fr/philosophie15
Courriel : khayrallahlotfi at msn.com
AVICENNA

Message non lu par AVICENNA »

Il m'intéresse tant de savoir que pense la réplique de pascal, je désigne Bruno, de cette nouvelle démonstration ?
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Si la question est formulée de cette façon, voire même sous forme de défi, il n'y a aucune chance qu'il ( ou un autre ) y prête attention.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)
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