Démonstration nouvelle de la proposition 55.Liber X

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AVICENNA

Démonstration nouvelle de la proposition 55.Liber X

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Démonstration nouvelle de la proposition 55.Liber X


[right]Par khayrallah lotfi*[/right]

Proposition 55
Si une surface est comprise sous une rationnelle et sous la première de deux noms, la droite qui peut cette surface est l’irrationnelle appelée la droite de eux noms.

Démonstration (Euclide)
Que la surface ABFD soit comprise sous la rationnelle AB et sous la droite AD première de deux noms ; je dis que la droite qui peut la surface AF est l’irrationnelle appelée la droite de deux noms.
Puisque la droite AD est première de deux noms ; qu’elle soit divisée en ses noms au point E, et que AE soit son plus grand nom. Il est évident que les droites AE, ED seront des rationnelles commensurables en puissance seulement, que la puissance de AE surpassera la puissance de ED du quarré d’une droite commensurable avec AE, et que AE sera commensurable en longueur avec la rationnelle exposée AB (définitions secondes.1.X). Coupons ED en deux parties égales au point Z. Puisque la puissance de AE surpasse la puissance de ED du quarré d’une droite commensurable avec AE, si nous appliquons à la plus grande AE un parallélogramme qui soit égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite, c'est-à-dire du quarré de EZ, et défaillant d’une figure quarrée, ce parallélogramme divisera cette droite en parties commensurables (18.X). Que le parallélogramme sous AH, HE, égal au quarré de EZ, soit appliqué à AE (28.X) ; la droite AH sera commensurable en longueur avec EH. Des points H, E, Z menons les droites HU, EK, ZV parallèles à l’une ou à l’autre des droites AB, DF (14.II). Faisons le quarré WN égal au parallélogramme AU, le quarré NY égal au parallélogramme HK, et faisons en sorte que la droite MN soit dans la direction de NY ; la droite NP sera dans la direction de NO (14.I). Achevons le parallélogramme WY, le parallélogramme WY sera un quarré (lemme précédent). Puisque le rectangle sous AH, HE est égal au quarré de EZ, la droite AH sera à EZ comme EZ est à EH (17.VI) ; donc AU est à EV comme EV est à KH (1.VI) ; donc EV est un moyen proportionnel entre AU et HK. Mais AU est égal à WN, et HK est égal à NY ; donc EV est moyen proportionnel entre WN et NY. Mais MP est moyen proportionnel entre WN et NY (lemme précédent.) ; donc EV est égal à MP, et par conséquent à OQ (43.I). Mais la somme des rectangles AU, HK est égal à la somme des quarrés WN, NY ; donc AF tout entier est égal à WY tout entier, c'est-à-dire au quarré de MQ ; la droite MQ peut donc le parallélogramme AF ; je dis que MQ est une droite de deux noms. Car puisque AH est commensurable avec HE, la droite AE sera commensurable avec chacune des droites AH, HE (16.X). Mais on a supposé que AE est commensurable en longueur avec AB ; les droites AH, HE, sont donc commensurables avec AB (12.X). Mais la droite AB est rationnelle ; chacune des droites AH, HE est donc rationnelle ; chacun des parallélogrammes AU, HK est donc rationnel (20.X) ; AU est donc commensurable avec HK (10.X). Mais AU est égal à WN, et HK est égal à NY ; les quarrés WN, NY, c'est-à-dire les quarrés des droites MN, NQ, sont donc rationnels et commensurables. Et puisque AE est incommensurable en longueur avec ED (37.X), que AE est commensurable avec AH, et que DE est commensurable avec EZ, la droite AH sera incommensurable avec EZ ; donc AU est incommensurable avec EV. Mais AU est égal à WN, et EV égal à MP ; donc WN est incommensurable avec MP. Mais WN est à MP comme ON est à NP ; donc ON est incommensurable avec NP (10.X). Mais la droite ON est égal à NM, et NP est égal à NQ ; donc MN est incommensurable avec NQ. Mais le quarré de MN est commensurable avec le quarré de NY, et ils sont rationnels l’un et l’autre ; les droites MN, NQ sont donc des rationnelles commensurables en puissance seulement ; MQ est donc une droite de deux noms (37.X), et elle peut le parallélogramme AF. Ce qu’il fallait démontrer.

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Nouvelle démonstration de cette proposition (khayrallah lotfi)

Que la surface ABFD soit comprise sous la rationnelle AB et sous la droite AD première de deux noms. Puisque la droite AD est première de deux noms ; qu’elle soit divisée en ses noms au point E, et que AE soit son plus grand nom. Il est évident, comme l’avait remarqué Euclide lui-même, que les droites AE, ED seront des rationnelles commensurables en puissance seulement, que la puissance de AE surpassera la puissance de ED du quarré d’une droite commensurable avec AE, et que AE sera commensurable en longueur avec la rationnelle exposée AB (définitions secondes.1.X). Coupons ED, comme l’avait fait aussi Euclide, en deux parties égales au point Z. Des points E, Z, menons les droites EK, ZV parallèles à l’une ou à l’autre des droites AB, DF (14.II). Il est évident que le rectangle AK est rationnel, et le rectangle EV qui est la moitié de EF est médial. Trouvons la droite IJ dont la puissance soit égale au rectangle rationnel AK, et la droite LS qui doive comprendre avec la droite IJ un rectangle qui soit égal au rectangle EV. Décrivons sur la droite IJ un demi cercle IHJ (Demande 3) ; et sur la même droite joignons HX perpendiculairement, et qui soit égale à LS ; donc le rectangle compris sous IJ, HX est une surface médiale qui est égale au rectangle EV ; La droite HX est donc une rationnelle et incommensurable en longueur avec IJ. Joignons les deux droites IH, HJ. Or puisque le quarré de IJ est rationnel, la somme des quarrés de IH, et de HJ est rationnelle aussi ; et puisque le quarré de IJ est égal au rectangle compris sous AE, AB, et le rectangle sous EZ, AB est égal au rectangle sous HX, IJ, le quarré de IJ sera au rectangle sous HX, IJ, comme le rectangle sous AE, AB est au rectangle sous EZ, AB ; donc la droite AE sera à la droite EZ comme la droite IJ est à la droite HX ; la droite AE sera au double de la droite EZ, c'est-à-dire à la droite ED, comme la droite IJ est au double de la droite HX , c'est-à-dire à la droite L G ; donc le quarré de AE est au quarré de ED, comme le quarré de IJ est au quarré de L G ; et par conversion le quarré AE sera à ce par quoi elle surpasse le quarré de ED, comme le quarré de IJ est à ce par quoi il surpasse le quarré de LG. Mais la puissance de AE surpasse la puissance de ED du quarré d’une droite commensurable avec AE ; donc la puissance de IJ surpasse la puissance de LG du quarré d’une droite commensurable en longueur avec IJ. Mais IJ, LG sont deux droites rationnelles commensurables en puissance seulement, et il est bien évident que IJ est plus grande que LG ; donc si nous appliquons à la plus grande IJ un parallélogramme qui soit égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite LG, c'est-à-dire du quarré de LS, c'est-à-dire du quarré HX, et défaillant d’une figure quarrée, ce parallélogramme divisera cette droite en parties commensurables (18.X) ; donc la droite IJ est coupée en X en parties IX, XJ commensurables en longueur. Et puisque IX est commensurable avec XJ, par addition IJ sera commensurable avec IX ; donc IX est rationnelle ; et puisque HX est déjà rationnelle, il s’ensuit que IH est rationnelle ; et de même pourra t on démontrer que HJ est rationnelle. Et puisque le rectangle sous IH, HJ est égal au rectangle sous IJ, HX qui est médial, ces deux rationnelles comprennent une surface médiale ; donc IH, HJ sont incommensurables en longueur. Puis, il très facile de montrer que toute droite composée de deux droites égales à IH, HJ chacune à chacune, est bien une droite de deux noms, et que sa puissance est égale au rectangle ABFD compris entre la droite de deux noms AD, et la rationnelle AB. Ce qu’il fallait faire.



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[right]Tunisie 15/07/2007[/right]


*Chercheur en philosophie (Tunisie).
21/02/1965
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Valvino
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Message non lu par Valvino »

juste pour info, je suppose que tu es déjà au courant mais en fait les démonstrations d'Euclide sont bancales car il y a beaucoup de flou mathématique surtout sur certaines définitions et axiomes manquant. Voir l'article http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Hilbert pour plus de détail.
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