Toute nouvelle démonstration de la proposition 113.LiberX

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AVICENNA

Toute nouvelle démonstration de la proposition 113.LiberX

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Une toute nouvelle démonstration de la proposition 113.Liber X


[right]Par khayrallah lotfi*[/right]



Proposition 113

Le quarré d’une rationnelle étant appliqué à une droite de deux noms fait une largeur qui est un apotome, dont les noms sont commensurables avec les noms de la droite de deux noms, et ces noms sont en même raison ; et de plus, l’apotome qui en résulte sera du même ordre que la droite de deux noms.

Démonstration (Euclide)

Soit A une rationnelle, et BF une droite de deux noms, dont le plus grand nom soit FD ; que le rectangle sous BF, EZ soit égal au quarré de A ; je dis que EZ est un apotome dont les noms sont commensurables avec les droites FD, DB, et en même raison que ces droites, et que EZ sera du même ordre que BZ.

Que le rectangle sous BD, H soit encore égal au quarré de A. Puisque le rectangle sous BF, EZ est égal au rectangle sous BD, H, la droite FB sera à BD comme H est à EZ (16.VI). Mais FB est plus grand que BD ; la droite H est donc plus grande que EZ. Que EO soit égal à H, la droite FB sera à BD comme OE est à EZ ; donc, par soustraction, FD est à BD comme OZ est à ZE (17.V). Faisons en sorte que OZ soit à ZE comme ZK est à KE ; la droite entière OK sera à la droite entière KZ comme ZK est à KE ; car un antécédent est à un conséquent comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (12.V). Mais ZK est à KE comme FD est à DB ; la droite OK est donc à KZ comme FD est à DB ; mais le quarré de FD est commensurable avec le quarré de DB (37.X) ; le quarré de OK est donc commensurable avec le quarré de KZ (10.X). Mais le quarré de OK est au quarré de KZ comme OK est à KE, parce que les trois droites OK, KZ, KE sont proportionnelles (20.corollaire.2.VI) ; la droite OK est donc commensurable en longueur avec KE ; la droite OE est donc aussi commensurable en longueur avec EK (16.X). Et puisque le quarré le quarré de A est égal au rectangle sous OE, BD, et que le quarré de A est rationnel, le rectangle sous OE, BD sera rationnel. Mais ce rectangle est appliqué à la rationnelle BD ; la droite OE est donc rationnelle et commensurable en longueur avec BD (21.X). La droite EK, qui est commensurable avec OE, est donc rationnelle et commensurable en longueur avec BD. Et puisque FD est à DB comme ZK est à KE, et que les droites FD, DB sont commensurables en puissance seulement, les droites ZK, KE seront commensurables en puissance seulement. Mais KE est rationnelle, et commensurable en longueur avec BD ; la droite ZK est donc rationnelle et commensurable en longueur avec FD ; les droites ZK, KE sont donc des rationnelles commensurables en puissance seulement ; la droite EZ est donc un apotome (74.X). Mais la puissance de FD surpasse la puissance de DB du quarré d’une droite commensurable ou incommensurable avec FD. Si la puissance de FD surpasse la puissance de DB du quarré d’une droite commensurable avec FD, la puissance de ZK surpassera la puissance de KE du quarré d’une droite commensurable avec ZK, et si FD est commensurable en longueur avec la rationnelle exposée, la droites ZK le sera aussi ; si BD est commensurable en longueur avec la rationnelle exposée, KE lui sera aussi commensurable ; et si aucune des droites FD, DB n’est commensurable en longueur avec la rationnelle exposée, aucune des droites ZK, KE ne lui sera commensurable. Si la puissance de FD surpasse la puissance de DB du quarré d’une droite incommensurable avec FD, la puissance ZK surpassera la puissance de KE du quarré d’une droite incommensurable avec ZK. Si FD est commensurable en longueur avec la rationnelle exposée, la droite ZK le sera aussi ; si la droite BD est commensurable en longueur avec la rationnelle exposée, la droite KE lui sera aussi commensurable. Et si aucune des droites FD, DB n’est commensurable en longueur avec la rationnelle exposée, aucune des droites ZK, KE ne lui sera commensurable ; la droite ZE est donc un apotome, dont les noms ZK, KE sont commensurable avec les noms FD, DB d’une droite de deux noms, et en même raison qu’eux ; et la droite ZE sera du même ordre que BF. Ce qu’il fallait démontrer.


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Nouvelle démonstration (khayrallah lotfi)

Mais avant cela, il faut d’abord qu’on fasse la démonstration d’une proposition introuvable dans le livre X des éléments.

Lemme

Si deux apotomes sont commensurables, leurs noms le sont aussi, et sont en même raison.

Démonstration (Khayrallah lotfi)

Soient les deux apotomes commensurables AB, CD. Complétons la congruente BM, et la congruente DN. Il est évident que BM est à DN comme l’apotome AB est à l’apotome CD ; car si cela n’est pas vrai, AB sera à CD comme BM est à une droite plus grande ou plus petite que la congruente DN ; que cette grandeur soit DZ ; DZ sera la congruente de l’apotome CD ; mais celui-ci a aussi pour congruente la droite DN ; l’apotome CD lui convient deux congruentes ; ce qui est impossible (80.X) Donc BM est à DN comme AB est à CD, ainsi que la droite entière AM est à la droite entière CN, comme l’apotome AB est à l’apotome CD (12.V). Mais les deux apotomes sont commensurables ; les deux grands noms, ainsi que les deux petits noms le sont aussi. Et puisque la droite entière AM est à la droite entière CN comme la droite BM est à la droite DN, par permutation le grand nom AM sera au petit nom BM comme le grand nom CN est au petit nom DN (16.V). Donc, etc.

Nouvelle démonstration de la proposition 113 (Khayrallah lotfi)

Soient Q une droite rationnelle, et AF une droite de deux noms dont le plus grand nom est la droite AB. Retranchons la droite IB égale au plus petit nom BF ; il est évident que le reste AI est un apotome, que sa congruente est la droite IB égale au plus petit nom BF (74.X). Du point A sortons perpendiculairement à la droite de deux noms AF, la droite AH égale à l’apotome AI (11.I), (2.I) ; AH est un apotome. Complétons le parallélogramme sous AH, AF. Il faut démontrer que ce parallélogramme est rationnel.

En effet, le quarré du grand nom AB est égal aux quarrés des AI, IB, et à deux fois le rectangle contenu sous AI, IB (4.II). Mais le quarré de AB est rationnel, car AB est rationnel, et le quarré de IB est rationnel, car IB est égal au plus petit nom BF qui est rationnel ; donc le reste du quarré de AB, si l’on retranche de ce quarré, le quarré de IB, sera rationnel, c'est-à-dire la surface qui est égale au quarré de AI, et au double rectangle sous AI, IB est rationnelle ; c'est-à-dire que la surface comprise sous AI, et la somme des droites AB, IB, savoir sous AI, et la somme des droite AB, BF, savoir sous AI, et la droite de deux noms AF est rationnelle ; mais AH est égale à AI ; donc le rectangle compris sous l’apotome AH et la droite de deux noms AF est rationnel. Et le reste du quarré de AB, si l’on retranche de ce même quarré, le quarré de IB rationnel, est rationnel, car une surface rationnelle ne surpasse pas une surface rationnelle d’une surface non rationnelle ; car si une grandeur est commensurable avec l’une de ses parties, elle le sera avec l’autre (16.X) ; mais toute surface rationnelle est commensurable avec toute surface rationnelle ; donc puisque la surface totale rationnelle, qui est commensurable avec l’une de ses deux parties rationnelle, elle sera aussi commensurable avec l’autre ; cette autre partie est rationnelle (Définitions premières.9.X)) ; mais elle est supposée non rationnelle ; ce qui est impossible.

Appliquons maintenant à la droite HT égale à AF la puissance rationnelle de la droite donnée Q. Elle fera une largeur HZ. Or, puisque le rectangle sous AH, AF est rationnel, et le rectangle sous HZ, HT rationnel, ceux-ci seront nécessairement commensurables. Mais ils sont entre eux comme leurs cotés AH, HZ (1.VI) ; la droite HZ est commensurable en longueur avec l’apotome AH ; HZ est donc un apotome et du même ordre que AH (104.X).

Il est aussi évident que la congruente HK de l’apotome AH est égale à IB, c'est-à-dire au petit nom BF, et que la droite entière AK est égal au grand nom AB ; donc l’apotome HZ qui est du même ordre que celui de AH, est encore de même ordre que celui de la droite de deux noms AF. Et puisque nous avons prouvé dans notre lemme, que si deux apotomes sont commensurables, leurs noms le sont aussi, et sont en même raison, la congruente ZO de l’apotome HZ sera commensurable avec la congruente HK, c'est-à-dire avec le petit nom BF, et la droite entière HO sera commensurable avec la droite entière AK, c'est-à-dire avec le grand nom AB, et la raison de HO sera à ZO comme la raison de AZ est à HZ, c'est-à-dire comme la raison du grand nom AB est au petit nom BF. Ce qu’il fallait démontrer

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[right] Tunisie 25/07/2007 [/right]


*Chercheur en philosophie (Tunisie).
21/02/1965
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Courriel : khayrallahlotfi@msn.com
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