Théorème de Cauchy-Lipschitz
Théorème de Cauchy-Lipschitz
Bonjour,
Je connais le théorème de Cauchy-Lipschitz classique, y'=f(t,y) avec les hypothèses qui conviennent, on obtient un résultat d'unicité.
Existe-t-il un analogue avec y'=Py, P opérateur ? (on a également y(0)=$y_{0}$ )Quels sont alors les hypothèses sur P ?
Dans le cas qui m'intéresse, y est dans $H^{1}_{0}([0,1])$, et P=Id-T, avec T qui pourrait être autoadjoint compact.
En fait, l'idée serait de diagonaliser Id-T dans une base hilbertienne, pour se ramener au cas connu, et constater que "ça marche". Mais je ne sais pas si c'est licite.
Je connais le théorème de Cauchy-Lipschitz classique, y'=f(t,y) avec les hypothèses qui conviennent, on obtient un résultat d'unicité.
Existe-t-il un analogue avec y'=Py, P opérateur ? (on a également y(0)=$y_{0}$ )Quels sont alors les hypothèses sur P ?
Dans le cas qui m'intéresse, y est dans $H^{1}_{0}([0,1])$, et P=Id-T, avec T qui pourrait être autoadjoint compact.
En fait, l'idée serait de diagonaliser Id-T dans une base hilbertienne, pour se ramener au cas connu, et constater que "ça marche". Mais je ne sais pas si c'est licite.
Il y a le théorème de Hille-Yosida (référence : Brézis, Analyse fonctionnelle)
Je ne sais pas si ton opérateur $P$ rentre dans le cadre de ce théorème
Mais ta méthode me paraît correcte :
-Diagonaliser $P$ dans une base hilbertienne $(e_i)$ : $P(e_i)=\lambda_i e_i$
-Chercher une solution $y$ sous la forme $y(t)=\sum\limits_i y_i(t)e_i$ ($y_i$ : fonction de $\R^+$ dans $\R$) (séparation des variables)
-Si on peut dériver la série terme à terme, les $y_i$ vérifient l'équation différentielle $y_i'=\lambda_i y_i$ : en déduire l'expression de $y_i$ (en utilisant la condition initiale)
-Montrer a posteriori que la série $\sum\limits_i y_i(t) e_i$ converge (dans le bon espace) et que la dérivation terme à terme est licite : dans ce cas la somme est solution de l'équation de départ
C'est quoi ton opérateur $P$ ?
Je ne sais pas si ton opérateur $P$ rentre dans le cadre de ce théorème
Mais ta méthode me paraît correcte :
-Diagonaliser $P$ dans une base hilbertienne $(e_i)$ : $P(e_i)=\lambda_i e_i$
-Chercher une solution $y$ sous la forme $y(t)=\sum\limits_i y_i(t)e_i$ ($y_i$ : fonction de $\R^+$ dans $\R$) (séparation des variables)
-Si on peut dériver la série terme à terme, les $y_i$ vérifient l'équation différentielle $y_i'=\lambda_i y_i$ : en déduire l'expression de $y_i$ (en utilisant la condition initiale)
-Montrer a posteriori que la série $\sum\limits_i y_i(t) e_i$ converge (dans le bon espace) et que la dérivation terme à terme est licite : dans ce cas la somme est solution de l'équation de départ
C'est quoi ton opérateur $P$ ?
Merci pour ta réponse.
Je ne pense pas que mon opérateur rentre dans le cadre de ce théorème, j'ai P=Id-T, avec T autoadjoint compact (si je ne me suis pas trompé dans les questions précédentes ^^), et T bijectif. Sans plus de précisions (la définition de T venant d'une formulation variationnelle assez moche, je doute qu'on puisse prouver la maximalité).
Je vais essayer de creuser du côté de la diagonalisation.
Je ne pense pas que mon opérateur rentre dans le cadre de ce théorème, j'ai P=Id-T, avec T autoadjoint compact (si je ne me suis pas trompé dans les questions précédentes ^^), et T bijectif. Sans plus de précisions (la définition de T venant d'une formulation variationnelle assez moche, je doute qu'on puisse prouver la maximalité).
Je vais essayer de creuser du côté de la diagonalisation.
Je croyais que c'était impossible, $T$ compact et bijectif en même tempsFried a écrit :Merci pour ta réponse.
Je ne pense pas que mon opérateur rentre dans le cadre de ce théorème, j'ai P=Id-T, avec T autoadjoint compact (si je ne me suis pas trompé dans les questions précédentes ^^), et T bijectif. Sans plus de précisions (la définition de T venant d'une formulation variationnelle assez moche, je doute qu'on puisse prouver la maximalité).
Je vais essayer de creuser du côté de la diagonalisation.
Ceci dit, peut-être que je me trompe complètement, mes cours d'analyse sont lointains
Théorème de l'application ouverte (conséquence du théorème de Baire) : soit $E$ et $F$ deux Banach et $T\in\mathcal{L}(E,F)$ continue surjective. Alors $T$ est ouverte (l'image de toute boule ouverte de $E$ par $T$ contient une boule ouverte de $F$)
Si en plus $T$ est un opérateur compact, cela implique que $F$ est de dimension finie (d'après le théorème de Riesz)
Le problème vient peut-être d'une confusion sur l'ensemble d'arrivée.
Par exemple, l'opérateur $\Delta$ est continu (et bijectif) de $H^2_0(0,1)$ dans $L^2(0,1)$.
Son inverse $\Delta^{-1}$ est bijectif de $L^2$ dans $H^2_0$, qui s'injecte compactement dans $L^2$, donc en résumé :
$\Delta^{-1}$ est compact de $L^2$ dans $L^2$
$\Delta^{-1}$ est bijectif de $L^2$ dans $H^2_0$
Mais il n'est pas en même temps bijectif et compact
Si en plus $T$ est un opérateur compact, cela implique que $F$ est de dimension finie (d'après le théorème de Riesz)
Le problème vient peut-être d'une confusion sur l'ensemble d'arrivée.
Par exemple, l'opérateur $\Delta$ est continu (et bijectif) de $H^2_0(0,1)$ dans $L^2(0,1)$.
Son inverse $\Delta^{-1}$ est bijectif de $L^2$ dans $H^2_0$, qui s'injecte compactement dans $L^2$, donc en résumé :
$\Delta^{-1}$ est compact de $L^2$ dans $L^2$
$\Delta^{-1}$ est bijectif de $L^2$ dans $H^2_0$
Mais il n'est pas en même temps bijectif et compact
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