Théorème de Cauchy-Lipschitz

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Fried

Théorème de Cauchy-Lipschitz

Message non lu par Fried »

Bonjour,

Je connais le théorème de Cauchy-Lipschitz classique, y'=f(t,y) avec les hypothèses qui conviennent, on obtient un résultat d'unicité.

Existe-t-il un analogue avec y'=Py, P opérateur ? (on a également y(0)=$y_{0}$ )Quels sont alors les hypothèses sur P ?

Dans le cas qui m'intéresse, y est dans $H^{1}_{0}([0,1])$, et P=Id-T, avec T qui pourrait être autoadjoint compact.


En fait, l'idée serait de diagonaliser Id-T dans une base hilbertienne, pour se ramener au cas connu, et constater que "ça marche". Mais je ne sais pas si c'est licite.
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Il y a le théorème de Hille-Yosida (référence : Brézis, Analyse fonctionnelle)
Je ne sais pas si ton opérateur $P$ rentre dans le cadre de ce théorème

Mais ta méthode me paraît correcte :
-Diagonaliser $P$ dans une base hilbertienne $(e_i)$ : $P(e_i)=\lambda_i e_i$
-Chercher une solution $y$ sous la forme $y(t)=\sum\limits_i y_i(t)e_i$ ($y_i$ : fonction de $\R^+$ dans $\R$) (séparation des variables)
-Si on peut dériver la série terme à terme, les $y_i$ vérifient l'équation différentielle $y_i'=\lambda_i y_i$ : en déduire l'expression de $y_i$ (en utilisant la condition initiale)
-Montrer a posteriori que la série $\sum\limits_i y_i(t) e_i$ converge (dans le bon espace) et que la dérivation terme à terme est licite : dans ce cas la somme est solution de l'équation de départ

C'est quoi ton opérateur $P$ ?
Fried

Message non lu par Fried »

Merci pour ta réponse.

Je ne pense pas que mon opérateur rentre dans le cadre de ce théorème, j'ai P=Id-T, avec T autoadjoint compact (si je ne me suis pas trompé dans les questions précédentes ^^), et T bijectif. Sans plus de précisions (la définition de T venant d'une formulation variationnelle assez moche, je doute qu'on puisse prouver la maximalité).

Je vais essayer de creuser du côté de la diagonalisation.
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Fried a écrit :Merci pour ta réponse.

Je ne pense pas que mon opérateur rentre dans le cadre de ce théorème, j'ai P=Id-T, avec T autoadjoint compact (si je ne me suis pas trompé dans les questions précédentes ^^), et T bijectif. Sans plus de précisions (la définition de T venant d'une formulation variationnelle assez moche, je doute qu'on puisse prouver la maximalité).

Je vais essayer de creuser du côté de la diagonalisation.
Je croyais que c'était impossible, $T$ compact et bijectif en même temps

Ceci dit, peut-être que je me trompe complètement, mes cours d'analyse sont lointains
Fried

Message non lu par Fried »

Mmmmm...tu m'inquiètes là.

J'avoue que ce n'est pas la partie du cours la plus simple, et je suis loin d'avoir tout compris. Il va falloir que j'aille vérifier.
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Théorème de l'application ouverte (conséquence du théorème de Baire) : soit $E$ et $F$ deux Banach et $T\in\mathcal{L}(E,F)$ continue surjective. Alors $T$ est ouverte (l'image de toute boule ouverte de $E$ par $T$ contient une boule ouverte de $F$)
Si en plus $T$ est un opérateur compact, cela implique que $F$ est de dimension finie (d'après le théorème de Riesz)

Le problème vient peut-être d'une confusion sur l'ensemble d'arrivée.

Par exemple, l'opérateur $\Delta$ est continu (et bijectif) de $H^2_0(0,1)$ dans $L^2(0,1)$.
Son inverse $\Delta^{-1}$ est bijectif de $L^2$ dans $H^2_0$, qui s'injecte compactement dans $L^2$, donc en résumé :

$\Delta^{-1}$ est compact de $L^2$ dans $L^2$
$\Delta^{-1}$ est bijectif de $L^2$ dans $H^2_0$

Mais il n'est pas en même temps bijectif et compact
Fried

Message non lu par Fried »

En fait je pense que j'ai confondu entre T et Id-T. T est bijectif sûr, en revanche, ce dont j'ai besoin, c'est de pouvoir diagonaliser Id-T et non pas T.

Merci, tu m'évites une grosse boulette :)
linfir

Message non lu par linfir »

Diagonaliser $T$ et diagonaliser $\mathrm{Id}-T$, c'est à peu près la même chose...
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