Une belle phrase de V. Arnold

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Zaim KHELIFI

Une belle phrase de V. Arnold

Message non lu par Zaim KHELIFI »

"Il est souvent très utiles d'assimiler les états d'un processus à un point d'un espace convenable"

extrait du livre : EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES, page 13
Auteur: V. Arnold
Série: TRADUIT DU RUSSE des Editions Moscow
nirosis
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Message non lu par nirosis »

Oui, une phrase explicite... Il est parfois utile d'augmenter la dimension de l'espace dans lequel on travaille pour résoudre des problèmes compliqués...

C'est pas mal utilisé en contrôle optimal ou même pour faire des régressions non linéaires par exemple...
rebouxo
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Message non lu par rebouxo »

Je ne sais plus qui a dit cela : peut-être Hardy, mais ce n'est pas certain.

le plus court chemin en théorie des nombres passe souvent par les nombres complexes.
martini_bird

Message non lu par martini_bird »

rebouxo a écrit :Je ne sais plus qui a dit cela : peut-être Hardy, mais ce n'est pas certain.

le plus court chemin en théorie des nombres passe souvent par les nombres complexes.
Jacques Hadamard :

" Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe. "

A mettre bien sûr en parallèle avec le théorème des nombres premiers.

Cordialement.
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

Sans aller jusqu'au théorème des nombres premiers, il y a beaucoup de résultats simples et purement réels qui sont beaucoup plus faciles à obtenir en "passant" dans $\C$ :
-équations différentielles linéaires d'ordre 2, suites récurrentes linéaires d'ordre 2
-linéarisation, transformations trigonométriques, intégration de $e^x\sin x$
-factorisation de polynômes dans $\R[X]$
rebouxo
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Message non lu par rebouxo »

Merci à Martini_Bird pour la référence.

Oui mais le lien entre les nombres premiers et les complexes me semble moins direct.

Je trouve assez naturel (mais qu'est-ce que cela veux dire ?) le passage réel/complexe.
martini_bird

Message non lu par martini_bird »

Salut,
Oui mais le lien entre les nombres premiers et les complexes me semble moins direct.
Oui ce n'est pas évident à première vue ( cf. l'article fondateur de Riemann Uber die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebene Grösse, 1859 ). Mais la citation de Hadamard fait indéniablement écho à ce théorème (que Hadamard a démontré, pour rappel).

Cordialement.
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

sotwafits a écrit :Sans aller jusqu'au théorème des nombres premiers, il y a beaucoup de résultats simples et purement réels qui sont beaucoup plus faciles à obtenir en "passant" dans $\C$
Et puis comment comprendre que le rayon de convergence du dévelloppement en série entière de

$$\dfrac{1}{1+ x ^2}$$

est $1$ si on ne regarde que le champ réel.
leonardo10

Le plus court chemin

Message non lu par leonardo10 »

sotwafits a écrit :Sans aller jusqu'au théorème des nombres premiers, il y a beaucoup de résultats simples et purement réels qui sont beaucoup plus faciles à obtenir en "passant" dans $\C$ :
-équations différentielles linéaires d'ordre 2, suites récurrentes linéaires d'ordre 2
-linéarisation, transformations trigonométriques, intégration de $e^x\sin x$
-factorisation de polynômes dans $\R[X]$
Je suis bien d'accord que ces sont des bonnes exemples des resultats plus faciles à obtenir en "passant" dans $\C$. Mais pourquoi est-ce que tout le monde pense que ces méthodes imaginaires constituent une simplification? Dans quel sens sont-ils plus "facile"?

J'enquête sur cette question pour un projet de la recherche. J'estimerais beacoup toute sorte de l'aide que vouz pourriez m'offrir.

(S'il vous plaît, acceptez mes excuses pour ma mauvaise utilisation du français. :))
beld

Message non lu par beld »

Si on prend l'exemple de la convergence des séries de Taylor des fonctions, comme celle qu'a présentée la main gauche, si tu restes dans les réels tu peux constater que certaines ont un rayon de convergence infini, d'autres non, mais tu n'as aucune explication de ce phénomène.
Si tu travailles dans les complexes, alors tu pourra expliquer ce phénomène et l'associer à la présence d'une singularité, ce qui te permettra entre autre de faire converger ta série dans certains cas (en la généralisant par une série de Laurent par exemple).
stokastik

Re: Le plus court chemin

Message non lu par stokastik »

leonardo10 a écrit :
sotwafits a écrit :Sans aller jusqu'au théorème des nombres premiers, il y a beaucoup de résultats simples et purement réels qui sont beaucoup plus faciles à obtenir en "passant" dans $\C$ :
-équations différentielles linéaires d'ordre 2, suites récurrentes linéaires d'ordre 2
-linéarisation, transformations trigonométriques, intégration de $e^x\sin x$
-factorisation de polynômes dans $\R[X]$
Je suis bien d'accord que ces sont des bonnes exemples des resultats plus faciles à obtenir en "passant" dans $\C$. Mais pourquoi est-ce que tout le monde pense que ces méthodes imaginaires constituent une simplification? Dans quel sens sont-ils plus "facile"?

J'enquête sur cette question pour un projet de la recherche. J'estimerais beacoup toute sorte de l'aide que vouz pourriez m'offrir.

(S'il vous plaît, acceptez mes excuses pour ma mauvaise utilisation du français. :))
Ton français est pas mal :)

Remarques sur tes questions :
Mais pourquoi est-ce que tout le monde pense que ces méthodes imaginaires constituent une simplification? Dans quel sens sont-ils plus "facile"?
En mathématiques, les complexes ne sont pas plus "imaginaires" que les réels.

Je ne pense pas qu'on puisse dire que passer par les complexes est "plus facile" en toute généralité. Sur certains des exemples cités, c'est plus facile du point de vue calculatoire par exemple.
Valvino
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Message non lu par Valvino »

Sauf si je me goure que crois bien que le théorème des nombres premiers se démontre sans analyse complexe; et quelque part je dirais que c'est plus joli mathématiquement de résoudre un problème qui porte sur les entiers (quoique les réels sont nécessaires pour énoncer le problème) en n'utilisant pas les complexes.
stokastik

Message non lu par stokastik »

Valvino a écrit :Sauf si je me goure que crois bien que le théorème des nombres premiers se démontre sans analyse complexe; et quelque part je dirais que c'est plus joli mathématiquement de résoudre un problème qui porte sur les entiers (quoique les réels sont nécessaires pour énoncer le problème) en n'utilisant pas les complexes.
Ce qui est "joli mathématiquement" est une question très philosophique aussi :D
Valvino
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Message non lu par Valvino »

Ouais mais d'un autre côté pour contredire ce que je viens de dire, la démonstration du théorème fondamental de l'algèbre en utilisant l'analyse complexe (théorème de Liouville) est belle donc bon c'est peut être au cas par cas je ne sais pas.
Tryphon
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Message non lu par Tryphon »

Valvino a écrit :Sauf si je me goure que crois bien que le théorème des nombres premiers se démontre sans analyse complexe; et quelque part je dirais que c'est plus joli mathématiquement de résoudre un problème qui porte sur les entiers (quoique les réels sont nécessaires pour énoncer le problème) en n'utilisant pas les complexes.
Il existe une démonstration du TNP sans analyse complexe mais :
- elle est bien postérieure à l'originale
- elle est très difficilement lisible (et ne saurait être qualifiée de "belle")
- les techniques qui y sont employées ont eu largement moins d'impact sur la théorie des nombres que les techniques d'Analyse complexe
- elle n'est pas "courte" (on parlait du plus court chemin)
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
Valvino
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Message non lu par Valvino »

Certes tu as raison elle est vraiment pas belle et je ne l'ai pas vraiment comprise, celà dit je comprend aussi la volonté de ne pas vouloir passer par l'analyse complexe.

Ca me rappelle ces savants de la renaissance qui autorisaient l'usage des complexes dans les résolutions d'équations que si le résultat était bien réel!
leonardo10

Message non lu par leonardo10 »

la main gauche a écrit :
sotwafits a écrit :Sans aller jusqu'au théorème des nombres premiers, il y a beaucoup de résultats simples et purement réels qui sont beaucoup plus faciles à obtenir en "passant" dans $\C$
Et puis comment comprendre que le rayon de convergence du dévelloppement en série entière de

$$\dfrac{1}{1+ x ^2}$$

est $1$ si on ne regarde que le champ réel.
Je trouve cet exemple très intéssant! Comme beld a dit:
beld a écrit :Si on prend l'exemple de la convergence des séries de Taylor des fonctions, comme celle qu'a présentée la main gauche, si tu restes dans les réels tu peux constater que certaines ont un rayon de convergence infini, d'autres non, mais tu n'as aucune explication de ce phénomène.
Si tu travailles dans les complexes, alors tu pourra expliquer ce phénomène et l'associer à la présence d'une singularité, ce qui te permettra entre autre de faire converger ta série dans certains cas (en la généralisant par une série de Laurent par exemple).
Mais pourquoi pensez-vous que l'exemple de la main gauche est plus facile avec les complexes? Par exemple, je pense qu'on peut l'expliquer très facilement avec seulement les réels:

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}$$
$$|\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}|$$
$$=|\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{(-1)^{n}x^{2n}}| $$
$$=|\lim_{n \to \infty} -x^{2}| = x^{2} $$
$$<1 \Leftrightarrow |x|<1$$.
François D.
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Message non lu par François D. »

Pour le rayon de convergence, effectivement, mais passer par $\C$ permet de ne plus trouver aussi mystérieux que ça de se trouver face à une fonction qui est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur tout $\R$ mais n'est développable en série entière que sur $]-1;1[$ ...
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