Produit continu ? (intégrale multiplicative)
Produit continu ? (intégrale multiplicative)
Je cherche des références sur un sujet un peu particulier :
Si, dans une certaine mesure, on peut extrapoler la notion de somme discrète ($\sum$) à la notion de somme continue ($\int$), est-il absurde de considérer l'extrapolation du produit discret ($\prod$) au domaine continu ?
Si oui, pourquoi ?
Si non, quel est(serait) le nom de ce concept ( j'ai bien googlé 'produit continu' mais ça ne donne rien) et comment se note(-rait) le symbole correspondant ?
Si, dans une certaine mesure, on peut extrapoler la notion de somme discrète ($\sum$) à la notion de somme continue ($\int$), est-il absurde de considérer l'extrapolation du produit discret ($\prod$) au domaine continu ?
Si oui, pourquoi ?
Si non, quel est(serait) le nom de ce concept ( j'ai bien googlé 'produit continu' mais ça ne donne rien) et comment se note(-rait) le symbole correspondant ?
Dernière modification par DUET le lundi 13 juin 2005, 21:49, modifié 1 fois.
Si mes souvenirs sont exacts, cela s'appelle l'intégrale multiplicative:
Soit $A:[a;b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue, pour toute subdivision $S=(t_0,\ldots,t_n)$ de $[a;b]$ on pose $\pi(S)=\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \left[1+\int_{t_k}^{t_{k+1}} A(u)\,du\right]$
On note $\mathcal{E}(S)$ la famille de tous les éléments $\pi(S')$ correspondant à toutes les subdivisions plus fines que $S$, alors:
Théorème: $\bigcap\limits_{S} \overline{\mathcal{E}(S)}$ est réduit à un point que l'on appelle intégrale multiplicative de $A$ sur $[a;b]$ génralement notée $\displaystyle \prod_a^b(1+A(u)du)$
Propriétés:
$\displaystyle \prod_a^a(1+A(u)du)=1$
$\displaystyle \prod_a^c(1+A(u)du) \times \prod_c^b(1+A(u)du) =\prod_a^b(1+A(u)du)$
Si $F(t)=\displaystyle \prod_a^t(1+A(u)du)$, alors $F(a)=1$ et $F'(t)=A(t)F(t)$.
Ce sont les quelques traces qui me restent de mes notes... je n'ai pas de référence à donner malheureusement.
Soit $A:[a;b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue, pour toute subdivision $S=(t_0,\ldots,t_n)$ de $[a;b]$ on pose $\pi(S)=\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \left[1+\int_{t_k}^{t_{k+1}} A(u)\,du\right]$
On note $\mathcal{E}(S)$ la famille de tous les éléments $\pi(S')$ correspondant à toutes les subdivisions plus fines que $S$, alors:
Théorème: $\bigcap\limits_{S} \overline{\mathcal{E}(S)}$ est réduit à un point que l'on appelle intégrale multiplicative de $A$ sur $[a;b]$ génralement notée $\displaystyle \prod_a^b(1+A(u)du)$
Propriétés:
$\displaystyle \prod_a^a(1+A(u)du)=1$
$\displaystyle \prod_a^c(1+A(u)du) \times \prod_c^b(1+A(u)du) =\prod_a^b(1+A(u)du)$
Si $F(t)=\displaystyle \prod_a^t(1+A(u)du)$, alors $F(a)=1$ et $F'(t)=A(t)F(t)$.
Ce sont les quelques traces qui me restent de mes notes... je n'ai pas de référence à donner malheureusement.
Une référence qui semble intéressante : rappels comme vous l'avez fait et lien avec la résolution de systèmes d'équations différentielles
http://citebase.eprints.org/cgi-bin/cit ... th/9903221
(Apparemment on dit aussi bien "multiplicative integral" que "product integral" en anglais).
D'après ce que j'ai survolé sur d'autres pages, il semble qu'il y ait aussi un rapport avec les processus stochastiques type Itô (c'est ce que j'aimerais trouver).
http://citebase.eprints.org/cgi-bin/cit ... th/9903221
(Apparemment on dit aussi bien "multiplicative integral" que "product integral" en anglais).
D'après ce que j'ai survolé sur d'autres pages, il semble qu'il y ait aussi un rapport avec les processus stochastiques type Itô (c'est ce que j'aimerais trouver).
Si $f$ est une fonction dérivable et positive sur un intervalle $I = [a,b]$, alors $f$ admet un produit continu sur $I$
Somme continue
Notons $S$ la somme continue des valeurs de $f$ sur $[a,b]$, alors si $h \rightarrow 0$, on peut écrire
$S = f(a) + f(a+h) + ... + f(b-h) + f(b)$
Toutefois, ce développement infini ne connaît pas de limite finie, c'est pourquoi on limite cette somme par la multiplication de $h$
Ainsi, $S = \ds\lim_{h \rightarrow 0} h \times [f(a) + f(a+h) + ... + f(b-h) + f(b)]$
On note $S = \ds\int_{a}^{b} f(t)dt$
Produit continu
Intuitivement, le produit continu des valeurs de $f$ sur $I = [a,b]$ peut s'écrire, si $h \rightarrow 0$,
$P = f(a) f(a+h) ... f(b-h) f(b)$
Comme précédement, ce développement ne connaît pas de limite finie, c'est pourquoi on limitera le produit par un puissance, d'où
$P = \ds\lim_{h \rightarrow 0} (f(a) f(a+h) ... f(b-h) f(b))^h$
Puisque $f(t)>0$, on peut poser $f(t) = e^{ln f(t)}$, on trouve alors
$\ds\prod_{a}^{b} f(t) dt = e^{ \ds\int_{a}^{b} ln f(t)dt }$
Somme continue
Notons $S$ la somme continue des valeurs de $f$ sur $[a,b]$, alors si $h \rightarrow 0$, on peut écrire
$S = f(a) + f(a+h) + ... + f(b-h) + f(b)$
Toutefois, ce développement infini ne connaît pas de limite finie, c'est pourquoi on limite cette somme par la multiplication de $h$
Ainsi, $S = \ds\lim_{h \rightarrow 0} h \times [f(a) + f(a+h) + ... + f(b-h) + f(b)]$
On note $S = \ds\int_{a}^{b} f(t)dt$
Produit continu
Intuitivement, le produit continu des valeurs de $f$ sur $I = [a,b]$ peut s'écrire, si $h \rightarrow 0$,
$P = f(a) f(a+h) ... f(b-h) f(b)$
Comme précédement, ce développement ne connaît pas de limite finie, c'est pourquoi on limitera le produit par un puissance, d'où
$P = \ds\lim_{h \rightarrow 0} (f(a) f(a+h) ... f(b-h) f(b))^h$
Puisque $f(t)>0$, on peut poser $f(t) = e^{ln f(t)}$, on trouve alors
$\ds\prod_{a}^{b} f(t) dt = e^{ \ds\int_{a}^{b} ln f(t)dt }$
Dernière modification par TaeKrage le samedi 08 juillet 2006, 23:03, modifié 1 fois.
@ MB : je crois que TaeKrage a voulu écrire
$S = \ds\lim_{h \rightarrow 0}S_h$où$S_h=h\Big( f(a) + f(a+h) + ... + f(b-h) + f(b)\Big)$
est l'approximation de l'intégrale de $f$ par une somme d'aires de domaines rectangulaires quand la somme porte sur $\frac{b-a}{h}$ termes.
En poursuivant l'analogie
$P = \ds\lim_{h \rightarrow 0}P_h$ où$P_h=(f(a) f(a+h) ... f(b-h) f(b))^h$est l'exponentielle de l'approximation de l'intégrale de $\ln\circ f$ par une somme d'aires de domaines rectangulaires quand la somme porte sur $\frac{b-a}{h}$ termes.
@ TaeKrage : Merci j'y vois plus clair en ce qui concerne les applications quand on se limite à $\mathbb{R}^{+\star}$.
$S = \ds\lim_{h \rightarrow 0}S_h$où$S_h=h\Big( f(a) + f(a+h) + ... + f(b-h) + f(b)\Big)$
est l'approximation de l'intégrale de $f$ par une somme d'aires de domaines rectangulaires quand la somme porte sur $\frac{b-a}{h}$ termes.
En poursuivant l'analogie
$P = \ds\lim_{h \rightarrow 0}P_h$ où$P_h=(f(a) f(a+h) ... f(b-h) f(b))^h$est l'exponentielle de l'approximation de l'intégrale de $\ln\circ f$ par une somme d'aires de domaines rectangulaires quand la somme porte sur $\frac{b-a}{h}$ termes.
@ TaeKrage : Merci j'y vois plus clair en ce qui concerne les applications quand on se limite à $\mathbb{R}^{+\star}$.
aie,aie , je ne pense pas
avec les notations utilisées on a
$$\ds\prod_{a}^{b} f(t) dt = e^{ \ds\int_{a}^{b} ln f(t)dt}$$
alors que
$$\ds\prod_{a}^{b}(1+ f(t) dt) = e^{ \ds\int_{a}^{b} f(t)dt}$$
mais bon , je dirai que ces deux calculs sont équivalents modulo un changement de fonction $f(t) \rightarrow \exp(f(t))$
avec les notations utilisées on a
$$\ds\prod_{a}^{b} f(t) dt = e^{ \ds\int_{a}^{b} ln f(t)dt}$$
alors que
$$\ds\prod_{a}^{b}(1+ f(t) dt) = e^{ \ds\int_{a}^{b} f(t)dt}$$
mais bon , je dirai que ces deux calculs sont équivalents modulo un changement de fonction $f(t) \rightarrow \exp(f(t))$
et bien je prends le log , car pour une subdivision assez fine on a
$\forall k ,~ 1+ \int_{t_k}^{t_{k+1}} A(u)\,du$ >0
ensuite j'utilise,$\forall k$ une formule de taylor entre 0 et $\int_{t_k}^{t_{k+1}} A(u)\,du$ de la fonction $x \rightarrow \ln(1+x)$ , puis il faut majorer sauvagement la somme des restes de chaque formule de taylor (qui tend vers zero avec le pas de la subdivision) et on obtient le résultat ...
cette explication est vague mais je pense que cela suffit pour se mettre sur la voie
$\forall k ,~ 1+ \int_{t_k}^{t_{k+1}} A(u)\,du$ >0
ensuite j'utilise,$\forall k$ une formule de taylor entre 0 et $\int_{t_k}^{t_{k+1}} A(u)\,du$ de la fonction $x \rightarrow \ln(1+x)$ , puis il faut majorer sauvagement la somme des restes de chaque formule de taylor (qui tend vers zero avec le pas de la subdivision) et on obtient le résultat ...
cette explication est vague mais je pense que cela suffit pour se mettre sur la voie
Dernière modification par acid24 le lundi 10 juillet 2006, 09:56, modifié 1 fois.
Problème
Pour la fonction exponentielle, on s'est posé la question suivante,
Quelle fonction vérifie l'équation différencielle
$$\left\{ \begin{array}{l}
y' = y \\
y(0) = 1
\end{array} \right.}$$
Notons que ce problème aurait pu s'écrire autrement, à l'aide d'une intégrale,
$$\left\{ \begin{array}{l}
y = \int y \\
y(0) = 1
\end{array} \right.}$$
Pour en venir aux intégrales multiplicatives, on se pose la question similaire,
Quelle fonction vérifie le système suivant ?
$$\left\{ \begin{array}{l}
\pi(y) = y \\
y(0) = e
\end{array} \right.}$$
où $\pi(y)$ désigne l'intégrale multiplicative de $y$.
Quelle fonction vérifie l'équation différencielle
$$\left\{ \begin{array}{l}
y' = y \\
y(0) = 1
\end{array} \right.}$$
Notons que ce problème aurait pu s'écrire autrement, à l'aide d'une intégrale,
$$\left\{ \begin{array}{l}
y = \int y \\
y(0) = 1
\end{array} \right.}$$
Pour en venir aux intégrales multiplicatives, on se pose la question similaire,
Quelle fonction vérifie le système suivant ?
$$\left\{ \begin{array}{l}
\pi(y) = y \\
y(0) = e
\end{array} \right.}$$
où $\pi(y)$ désigne l'intégrale multiplicative de $y$.
D'après ce que tu dis, la dérivée multiplicative de l'intégrale multiplicative d'une fonction
est cette fonction elle même (c'est l'anti-intégrale multiplicative), on a donc
$\pi(\underline{y}) = y$. On a donc $\underline{f}(x) = e^{(ln f(x))'}$
En effet, $\pi(\underline{f}(x)) = e^{\int ln e^{(ln f(x))'} dx} = f(x)$
La fonction (ou les fonctions) qu'on recherche vérifie le système
$\left\{ \begin{array}{l}
\underline{y} = y\\
y(0) = e
\end{array} \right.}$
Donc finalement, notre fonction est solution de l'équation différencielle
$\left\{ \begin{array}{l}
e^{(ln y)'} = y\\
y(0) = e
\end{array} \right.}$
Soit :
$\left\{ \begin{array}{l}
y' = y ln y\\
y(0) = e
\end{array} \right.}$
Quelle est la solution de cette équation différencielle ?
est cette fonction elle même (c'est l'anti-intégrale multiplicative), on a donc
$\pi(\underline{y}) = y$. On a donc $\underline{f}(x) = e^{(ln f(x))'}$
En effet, $\pi(\underline{f}(x)) = e^{\int ln e^{(ln f(x))'} dx} = f(x)$
La fonction (ou les fonctions) qu'on recherche vérifie le système
$\left\{ \begin{array}{l}
\underline{y} = y\\
y(0) = e
\end{array} \right.}$
Donc finalement, notre fonction est solution de l'équation différencielle
$\left\{ \begin{array}{l}
e^{(ln y)'} = y\\
y(0) = e
\end{array} \right.}$
Soit :
$\left\{ \begin{array}{l}
y' = y ln y\\
y(0) = e
\end{array} \right.}$
Quelle est la solution de cette équation différencielle ?
Sans démonstration $y(x)=\mathrm{e}^{1-x}x^x$
(Edit : c'est faux)
(Edit : c'est faux)
Dernière modification par DUET le mardi 11 juillet 2006, 12:35, modifié 1 fois.
je corrige : $\mathrm{e}^{1-x}x^x$ respecte aussi $\left\{ \begin{array}{l} y' = y ln y\\\lim_{x\to 0} y(x) = e \end{array} \right.}$ sur $\mathbb{R}^{+\star}$
(Edit : c'est toujours faux)
(Edit : c'est toujours faux)
Dernière modification par DUET le mardi 11 juillet 2006, 12:38, modifié 1 fois.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz peut-il s'appliquer si la borne ($x_0=0$) n'est pas dans le domaine de définition mais seulement définie à la limite ?
(Edit : ok sotwafits, je m'etais mélangé les pinceaux)
(Edit : ok sotwafits, je m'etais mélangé les pinceaux)
Dernière modification par DUET le mardi 11 juillet 2006, 12:40, modifié 1 fois.
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