Produit continu ? (intégrale multiplicative)

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DUET
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Produit continu ? (intégrale multiplicative)

Message non lu par DUET »

Je cherche des références sur un sujet un peu particulier :

Si, dans une certaine mesure, on peut extrapoler la notion de somme discrète ($\sum$) à la notion de somme continue ($\int$), est-il absurde de considérer l'extrapolation du produit discret ($\prod$) au domaine continu ?

Si oui, pourquoi ?
Si non, quel est(serait) le nom de ce concept ( j'ai bien googlé 'produit continu' mais ça ne donne rien) et comment se note(-rait) le symbole correspondant ?
Dernière modification par DUET le lundi 13 juin 2005, 21:49, modifié 1 fois.
P.Fradin

Message non lu par P.Fradin »

Si mes souvenirs sont exacts, cela s'appelle l'intégrale multiplicative:

Soit $A:[a;b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue, pour toute subdivision $S=(t_0,\ldots,t_n)$ de $[a;b]$ on pose $\pi(S)=\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \left[1+\int_{t_k}^{t_{k+1}} A(u)\,du\right]$

On note $\mathcal{E}(S)$ la famille de tous les éléments $\pi(S')$ correspondant à toutes les subdivisions plus fines que $S$, alors:

Théorème: $\bigcap\limits_{S} \overline{\mathcal{E}(S)}$ est réduit à un point que l'on appelle intégrale multiplicative de $A$ sur $[a;b]$ génralement notée $\displaystyle \prod_a^b(1+A(u)du)$

Propriétés:

$\displaystyle \prod_a^a(1+A(u)du)=1$

$\displaystyle \prod_a^c(1+A(u)du) \times \prod_c^b(1+A(u)du) =\prod_a^b(1+A(u)du)$

Si $F(t)=\displaystyle \prod_a^t(1+A(u)du)$, alors $F(a)=1$ et $F'(t)=A(t)F(t)$.

Ce sont les quelques traces qui me restent de mes notes... je n'ai pas de référence à donner malheureusement.
DUET
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Message non lu par DUET »

Merci bcp :P
DUET
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Message non lu par DUET »

Une référence qui semble intéressante : rappels comme vous l'avez fait et lien avec la résolution de systèmes d'équations différentielles

http://citebase.eprints.org/cgi-bin/cit ... th/9903221

(Apparemment on dit aussi bien "multiplicative integral" que "product integral" en anglais).

D'après ce que j'ai survolé sur d'autres pages, il semble qu'il y ait aussi un rapport avec les processus stochastiques type Itô (c'est ce que j'aimerais trouver).
TaeKrage

Message non lu par TaeKrage »

Si $f$ est une fonction dérivable et positive sur un intervalle $I = [a,b]$, alors $f$ admet un produit continu sur $I$

Somme continue

Notons $S$ la somme continue des valeurs de $f$ sur $[a,b]$, alors si $h \rightarrow 0$, on peut écrire
$S = f(a) + f(a+h) + ... + f(b-h) + f(b)$
Toutefois, ce développement infini ne connaît pas de limite finie, c'est pourquoi on limite cette somme par la multiplication de $h$
Ainsi, $S = \ds\lim_{h \rightarrow 0} h \times [f(a) + f(a+h) + ... + f(b-h) + f(b)]$
On note $S = \ds\int_{a}^{b} f(t)dt$

Produit continu

Intuitivement, le produit continu des valeurs de $f$ sur $I = [a,b]$ peut s'écrire, si $h \rightarrow 0$,
$P = f(a) f(a+h) ... f(b-h) f(b)$
Comme précédement, ce développement ne connaît pas de limite finie, c'est pourquoi on limitera le produit par un puissance, d'où
$P = \ds\lim_{h \rightarrow 0} (f(a) f(a+h) ... f(b-h) f(b))^h$
Puisque $f(t)>0$, on peut poser $f(t) = e^{ln f(t)}$, on trouve alors

$\ds\prod_{a}^{b} f(t) dt = e^{ \ds\int_{a}^{b} ln f(t)dt }$
Dernière modification par TaeKrage le samedi 08 juillet 2006, 23:03, modifié 1 fois.
MB
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Message non lu par MB »

@TaeKrage : tout cela me semble assez douteux ! (ça sort d'où ?)

$$S = f(a) + f(a+h) + \ldots + f(b-h) + f(b)$$

Il faut déjà utiliser des notations plus claires ...
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DUET
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Message non lu par DUET »

@ MB : je crois que TaeKrage a voulu écrire
$S = \ds\lim_{h \rightarrow 0}S_h$où$S_h=h\Big( f(a) + f(a+h) + ... + f(b-h) + f(b)\Big)$
est l'approximation de l'intégrale de $f$ par une somme d'aires de domaines rectangulaires quand la somme porte sur $\frac{b-a}{h}$ termes.

En poursuivant l'analogie
$P = \ds\lim_{h \rightarrow 0}P_h$ où$P_h=(f(a) f(a+h) ... f(b-h) f(b))^h$est l'exponentielle de l'approximation de l'intégrale de $\ln\circ f$ par une somme d'aires de domaines rectangulaires quand la somme porte sur $\frac{b-a}{h}$ termes.

@ TaeKrage : Merci j'y vois plus clair en ce qui concerne les applications quand on se limite à $\mathbb{R}^{+\star}$.
acid24

Message non lu par acid24 »

bonjour, ces notions sont très interressantes , mais lequel des deux "produits continus" proposé est le plus employé/interressant ?
DUET
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Message non lu par DUET »

Si $f$ est dans $\mathbb{R}^{+\star}$, les 2 sont équivalentes (conjecture!) ; sinon, on n'a pas le choix.
acid24

Message non lu par acid24 »

aie,aie , je ne pense pas
avec les notations utilisées on a

$$\ds\prod_{a}^{b} f(t) dt = e^{ \ds\int_{a}^{b} ln f(t)dt}$$

alors que

$$\ds\prod_{a}^{b}(1+ f(t) dt) = e^{ \ds\int_{a}^{b} f(t)dt}$$

mais bon , je dirai que ces deux calculs sont équivalents modulo un changement de fonction $f(t) \rightarrow \exp(f(t))$
DUET
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Message non lu par DUET »

Comment arrives-tu à cela :
$\ds\prod_{a}^{b}(1+ f(t) dt) = e^{ \ds\int_{a}^{b} f(t)dt }$
?

Si tu es parti de :
$Si F(t)=\displaystyle \prod_a^t(1+A(u)du) , alors F(a)=1 et F'(t)=A(t)F(t).$
n'y a-il pas un problème de bornes ?
acid24

Message non lu par acid24 »

et bien je prends le log , car pour une subdivision assez fine on a
$\forall k ,~ 1+ \int_{t_k}^{t_{k+1}} A(u)\,du$ >0

ensuite j'utilise,$\forall k$ une formule de taylor entre 0 et $\int_{t_k}^{t_{k+1}} A(u)\,du$ de la fonction $x \rightarrow \ln(1+x)$ , puis il faut majorer sauvagement la somme des restes de chaque formule de taylor (qui tend vers zero avec le pas de la subdivision) et on obtient le résultat ...
cette explication est vague mais je pense que cela suffit pour se mettre sur la voie
Dernière modification par acid24 le lundi 10 juillet 2006, 09:56, modifié 1 fois.
TaeKrage

Problème

Message non lu par TaeKrage »

Pour la fonction exponentielle, on s'est posé la question suivante,
Quelle fonction vérifie l'équation différencielle

$$\left\{ \begin{array}{l}
y' = y \\
y(0) = 1
\end{array} \right.}$$

Notons que ce problème aurait pu s'écrire autrement, à l'aide d'une intégrale,

$$\left\{ \begin{array}{l}
y = \int y \\
y(0) = 1
\end{array} \right.}$$

Pour en venir aux intégrales multiplicatives, on se pose la question similaire,
Quelle fonction vérifie le système suivant ?

$$\left\{ \begin{array}{l}
\pi(y) = y \\
y(0) = e
\end{array} \right.}$$

où $\pi(y)$ désigne l'intégrale multiplicative de $y$.
DUET
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Message non lu par DUET »

où $\pi(y)$ désigne l'intégrale multiplicative de $y$
en désignant $\underline{y}$ comme la dérivée multiplicative de $y$ telle que $\underline{y}=x\Longrightarrow y=\pi(x)$(que faire des constantes), il faut trouver l'équivalent de

$$y(t)=y(0)+\int\limits_0^ty'(u)\mathrm{d}u$$
TaeKrage

Message non lu par TaeKrage »

D'après ce que tu dis, la dérivée multiplicative de l'intégrale multiplicative d'une fonction
est cette fonction elle même (c'est l'anti-intégrale multiplicative), on a donc

$\pi(\underline{y}) = y$. On a donc $\underline{f}(x) = e^{(ln f(x))'}$
En effet, $\pi(\underline{f}(x)) = e^{\int ln e^{(ln f(x))'} dx} = f(x)$

La fonction (ou les fonctions) qu'on recherche vérifie le système

$\left\{ \begin{array}{l}
\underline{y} = y\\
y(0) = e
\end{array} \right.}$

Donc finalement, notre fonction est solution de l'équation différencielle

$\left\{ \begin{array}{l}
e^{(ln y)'} = y\\
y(0) = e
\end{array} \right.}$

Soit :

$\left\{ \begin{array}{l}
y' = y ln y\\
y(0) = e
\end{array} \right.}$

Quelle est la solution de cette équation différencielle ?
DUET
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Message non lu par DUET »

Sans démonstration $y(x)=\mathrm{e}^{1-x}x^x$
(Edit : c'est faux)
Dernière modification par DUET le mardi 11 juillet 2006, 12:35, modifié 1 fois.
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

DUET a écrit :Sans démonstration $y(x)=\mathrm{e}^{1-x}x^x$
Non, tu t'es trompé

Je dirais plutôt $y(x)=e^{e^x}$
DUET
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Message non lu par DUET »

je corrige : $\mathrm{e}^{1-x}x^x$ respecte aussi $\left\{ \begin{array}{l} y' = y ln y\\\lim_{x\to 0} y(x) = e \end{array} \right.}$ sur $\mathbb{R}^{+\star}$

(Edit : c'est toujours faux)
Dernière modification par DUET le mardi 11 juillet 2006, 12:38, modifié 1 fois.
sotwafits

Message non lu par sotwafits »

DUET a écrit :je corrige : $\mathrm{e}^{1-x}x^x$ respecte aussi $\left\{ \begin{array}{l} y' = y ln y\\\lim_{x\to 0} y(x) = e \end{array} \right.}$ sur $\mathbb{R}^{+\star}$
Je n'ai pas fait le calcul, mais je suis sûr que tu as tort, par unicité de la solution (théorème de Cauchy-Lipschitz)
DUET
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Message non lu par DUET »

Le théorème de Cauchy-Lipschitz peut-il s'appliquer si la borne ($x_0=0$) n'est pas dans le domaine de définition mais seulement définie à la limite ?

(Edit : ok sotwafits, je m'etais mélangé les pinceaux)
Dernière modification par DUET le mardi 11 juillet 2006, 12:40, modifié 1 fois.
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