Foyers d'une ellipse (règle et compas)

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projetmbc
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[Résolu] Foyers d'une ellipse (règle et compas)

Message non lu par projetmbc »

Bonjour,
quelqu'un saurait-il retrouver les foyers d'une ellipse à partir de sa représentation graphique ? Disons qu'on peut supposer en plus avoir certaines tangentes.

Toute idée ou esquisse d'idée est la bienvenue.
Dernière modification par projetmbc le vendredi 24 avril 2009, 09:53, modifié 1 fois.
P.Fradin

Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par P.Fradin »

Je réponds sans réfléchir: pour une ellipse centrée en O avec le grand axe sur Ox, tout bien comme il faut. Les abscisses des foyers sont $c$ et $-c$ où $c=\sqrt{a^2-b^2}$, c'est à dire $b^2+c^2=a^2$. Il suffit alors de tracer le cercle de centre $(0,b)$ et de rayon $a$, il coupe l'axe Ox sur les deux foyers.

A vérifer...
guiguiche
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Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par guiguiche »

J'aurai dit comme Patrick mais j'ai comme l'impression qu'il était implicite dans la question qu'on ne connaissait pas avec précision la localisation des sommets et du centre.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
balf
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Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par balf »

Ne s'agirait-t-il pas d'un problème d'enveloppes ? Les coniques peuvent aussi être définies comme des courbes algébriques de classe 2, et il s'agirait alors de récupérer des éléments tels que les foyers à partir de la définition comme enveloppe d'une famille de droites ?

B.A.
projetmbc
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Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par projetmbc »

La dernière réponse est plus intéressante. Bien entendu dans ma question on ne dispose que de la représentation de l'ellipse (pas de son équation sinon la question n'est pas trop intéressante). BALF pourrais-tu préciser ou donner des infos (lien ou autre chose) ?

Merci pour les réponses même si le problème n'est toujours pas résolu.
Framboise
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Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par Framboise »

Bonjour,

Pourrais-tu préciser quelque peu ton problème ?

Ce n'est pas loin de la détermination d'une orbite en astronomie connaissant quelques points d'observation.

Connais-tu une petite portion de l'ellipse, toute l'ellipse, ses axes,... ?
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
projetmbc
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Des précisions

Message non lu par projetmbc »

Bonjour Framboise,
en fait ce problème est apparu en traçant un lieu de points. A l'aide des outils algébriques, il n'est pas dur de déterminer l'équation "quadratique" de l'ellipse mais cette méthode est très peu satisfaisante.

Du coup, je me suis posé la question de savoir si à partir d'une ellipse complètement tracée sans autre "information" que la courbe elle-même, on pouvait tracer ses foyers.

En espérant avoir été plus clair.
Framboise
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Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par Framboise »

En somme tu voudrais déterminer les foyers en ayant l'ellipse tracée sur une feuille de papier en utilisant principalement la règle et le compas, sans calcul.

Cela me parait difficile dans le cas général. Suppose par exemple une ellipse presque circulaire, il sera déjà très difficile et très imprécis de déterminer ne serait-ce qu'un des axes de l'ellipse.

Dans le cas d'un cercle, on prend 2 points de la circonférence et on trace la perpendiculaire, en faisant deux fois cela, l'intersection détermine le centre. Cela ne fonctionne pas pour l'ellipse, on obtiendrais un ensemble de points d'intersections inutilisables.

Je ne vois pas non plus comment adapter les méthodes classiques astronomiques d'Olbers, Laplace et Gauss, faute de relation de Kepler avec un paramètre temporel.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
projetmbc
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Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par projetmbc »

On pourrait aussi imaginer que l'on connaît une ou deux tangentes à la courbe et voir si le dessin est possible.
jblecanard

Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par jblecanard »

Bonjour

je déterre le sujet, mais si ça intéresse quelqu'un... j'ai une un bout de solution à proposer.

Prenons 4 points distincts $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ tels que la tangente à $P_1$ soit sécante avec la tangente à $P_2$ et la tangente à $P_3$ soit sécante avec la tangente à $P_4$. Notons $T_{12}$ la première intersection et $T_{34}$ la seconde. Notons $M_{12}$ le centre du segment $[P_1, P_2]$ et $M_{34}$ le centre du segment $[P_3, P_4]$. L'intersection de la droite $(T_{12}, M_{12})$ avec la droite $(T_{34}, M_{34})$ est le centre de l'ellipse. Je n'ai pas la preuve mais elle existe et si vous la voulez, faites des recherches du côté de la reconnaissance d'ellipses en vision par ordinateur.

Une fois avec le centre, il est aisé de retrouver le demi-grand axe et le demi-petit axe (respectivement le maximum et le minimum de la distance au centre), et à partir de là, les deux foyers. Aisé d'un point de vue numérique... avec une règle et un compas, je ne sais pas, mais au moins, tu peux trouver le centre !
projetmbc
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Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par projetmbc »

jblecanard a écrit :je déterre le sujet, mais si ça intéresse quelqu'un... j'ai une un bout de solution à proposer.
Et bien, je crois pouvoir dire que cela m'intéresse... :D

Sinon pour "ta" méthode, elle est évidente à prouver pour un cercle, et une petite affinité permet de passer à l'ellipse.

Merci.
MC
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Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par MC »

Tiens, je connais un texte sur le sujet ;)
C'est ici.
projetmbc
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Re: Foyers d'une ellipse

Message non lu par projetmbc »

Merci. :mrgreen:

Il ne me reste plus qu'à lire ceci. Je vais essayer de voir si on peut démontrer cela de façon peu calculatoire.
MC
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Re: [Résolu] Foyers d'une ellipse (Règle et compas)

Message non lu par MC »

Bonjour,

Pour compléter, la mise en oeuvre de la première construction décrite dans le document, dans un fichier geogebra.

Cordialement.
ConsF.ggb
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projetmbc
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Re: [Résolu] Foyers d'une ellipse (règle et compas)

Message non lu par projetmbc »

Merci MC pour ta figure.

Sinon Patrick FRADIN a fait l'animation suivante :
http://texgraph.forumpro.fr/animations- ... e-t213.htm

Merci à lui car sa constructuion est très simple. :D

La démonstration n'est pas méchante à faire, tout se fait géométriquement sauf la dernière étape qui utilise les coordonnées d'un foyer en fonction du petit et du grand axe d'une ellipse.
MC
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Re: [Résolu] Foyers d'une ellipse (règle et compas)

Message non lu par MC »

Bonjour,

Oui, la différence tient dans la construction des axes. La première partie de la construction consiste à obtenir une paire de diamètres conjugués et le centre. ici pas de différence. La construction de P. Fradin qui consiste à tracer un cercle de centre le centre de l'ellipse pour obtenir les axes est effectivement plus simple. Mais je fais remarquer qu'elle utilise le tracé de l'ellipse, alors que la construction décrite dans le texte sur lequel j'ai mis un lien n'utilise que les diamètres conjugués déjà obtenus et n'utilise plus le tracé. Une fois qu'on a les axes, l'obtention des foyers est standard.
Par exemple, je sais comment construire à la régle et au compas les deux points d'intersection d'une droite avec une ellipse donnée par cinq points. Mais construire à la règle et au compas les quatre points d'intersection (quand ils existent) d'un cercle avec une ellipse donnée par cinq points me paraît plus ardu. Dans la construction de P. Fradin, le cercle a même centre que l'ellipse, ce qui simplifie sans doute les choses.

Cordialement.
projetmbc
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Re: [Résolu] Foyers d'une ellipse (règle et compas)

Message non lu par projetmbc »

MC a écrit :La construction de P. Fradin [...] utilise le tracé de l'ellipse, alors que la construction décrite dans le texte sur lequel j'ai mis un lien n'utilise que les diamètres conjugués déjà obtenus et n'utilise plus le tracé.
Au temps pour moi...
darell

Re: [Résolu] Foyers d'une ellipse (règle et compas)

Message non lu par darell »

Pour trouver les foyers d'une ellipse quelconque, voici le procédé utilisé par les peintres décorateurs, pour dessiner un cartouche et par les jardiniers d'agrément, pour tracer un parterre de forme elliptique.
On trace le grand axe de cette ellipse, puis le petit axe qui coupe le grand en son milieu bien sur.
Avec le compas, on prend le demi grand axe.
On place la pointe du compas au sommet du petit axe et on reporte cette mesure en deux points (de chaque côté du centre) sur le grand axe, ces deux points seront les deux foyers recherchés.