La notion de cosinus en 4ème

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evariste_G
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La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par evariste_G »

Bonjour à toutes et à tous !

Je suis en train de préparer une activité de découverte pour la notion de cosinus, et il y a une chose réellement embêtante ... Dans la figure suivante, (MN) et (AB) sont parallèles.
homothétie.JPG
homothétie.JPG (14.73 Kio) Consulté 3056 fois
A l'aide du théorème de Thalès, on arrive à montrer que $\dfrac{CN}{CM}=\dfrac{CA}{CB}$. Dans le cas où CNM est rectangle en N, on appelle ce rapport le cosinus de l'angle $\widehat{ACB}$ ... Mais pourquoi uniquement dans ce cas ? Est-ce que cela vient des relations que l'on aimerait qu'il y ait avec le sinus ? A mon avis, oui, mais j'aimerais avoir plusieurs avis à ce sujet. Merci.
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rebouxo
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par rebouxo »

Pour avoir des triangles semblables ?

Olivier
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par evariste_G »

rebouxo a écrit :Pour avoir des triangles semblables ?
Je ne comprends pas ta question ... :roll: Je demandais juste pourquoi on définit le cosinus par ce rapport uniquement dans un triangle rectangle et pas dans un triangle quelconque dans la mesure où il y a conservation des rapports quelle que soit la nature du triangle dans lequel on se place.
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par Jean-charles »

On pourrait définir une fonction de type cosinus associée à un angle "fixe" mais cela ne serait pa très pratique et n'apporterait pas grand chsoe je pense.
D'autant que l'on a la relation $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ qui fait intervenir notre bonne vieille fonction cosinus et qui est valable dans n'importe quel triangle.
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par kojak »

Dans ce cas là tu appelles ton quotient dans un triangle quelconque cosinus_evariste_G :mrgreen:

bon le seul pb c'est que tu seras un peu seul à l'utiliser et je pense que tu auras beaucoup de mal à faire le lien avec la définition du cosinus avec le cercle trigo.... encore que ceci est en voie de disparition complète :mrgreen:
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Yota

Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par Yota »

Je dois avouer que je suis plus que surpris de voir une fonction trigonométrique introduite à partir des triangles quelconques... ça me parait tout sauf naturel.
Si on veut faire mumuse avec les triangles semblables et Thalès, j'aurais tendance à dire qu'il faut au moins partir du cercle de rayon 1 et du projeté orthogonal d'un des points sur un diamètre, ce qui donne un premier triangle rectangle et la notion de cosinus. Ensuite, par Thalès, il se trouve que le rapport ne change pas quand on multiplie tous les côtés du triangle par la même valeur, donc on peut se défaire de cette contrainte de longueur 1 sur l'hypothénuse.

Mais partir des triangles quelconques, je ne vois pas ....
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par Jean-charles »

Un cercle trigo peut-être pas mais une ellipse trigonométrique ?
Bon ok :arrow: :oops:
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par Arnaud »

C'est un peu pour cela qu'on l'introduit dans les triangles rectangles : le cosinus n'apparait pas naturellement dans les triangles quelconques ( je ne trouve pas les formules d'Al-Kashi super naturelles pour le premier contact ), et dans le triangle rectangle, le produit scalaire et/ou le théorème de Pythagore nous aident pas mal.
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par rebouxo »

Ce n'était pas une question mais une suggestion. En fixant un angle dans un triangle rectangle, tous les triangles ayant ce même angle sont semblables. Parler de cosinus et de sinus, devient alors naturel : rapport entre le côté adjacent et l'hypoténuse, etc. Comme tous cela à avoir avec l'astronomie, il faudrait voir ce qu'en dise les arabes.

Olivier
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par evariste_G »

A priori, je n'ai pas été assez bien compris, à part par Kojak. Je sais bien que l'on définit le cosinus dans le triangle rectangle, mais j'ai simplement constaté que les rapports étaient égaux quels que soient les triangles ... On choisit donc de définir le cosinus comme étant la valeur de ces rapports mais uniquement dans le triangle rectangle ... En ce qui me concerne, ça ne me paraît pas si naturel que ça vu que le premier réflexe que j'ai eu n'a pas été de faire mes calculs dans un triangle rectangle. Mais je dois manquer de culture car l'un des messages laissait à supposer que dès que l'on parle de trigo, alors on parle de triangle rectangle ... Mais qui a décidé de cela ? Pourquoi ne pas avoir définit le sinus et le cosinus dans un triangle quelconque, quitte à ne pas avoir les égalités que nous connaissons ? Je suis désolé, mais il s'agit ici de connaître le déroulement de l"histoire de cette notion. J'avour que j'ai du mal à m'expliquer sur ce que je veux réellement :)
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Yota

Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par Yota »

Le problème est que tu lies deux choses qui n'ont pas de rapport a priori : le cosinus et Thalès. Le cosinus est une notion circulaire au départ, qui ne fait apparaître le triangle rectangle que parce qu'on fait une projection orthogonale.
Ensuite, le triangle rectangle étant un triangle, évidemment qu'on peut appliquer Thalès et que les rapports entre les longueurs des côtés sont conservés par homothétie.
Mais si tu nous demandes de justifier le pourquoi le cosinus n'a pas été introduit pour les triangles quelconques, je te réponds que c'est parce que le cosinus n'a pas été introduit depuis les triangles DU TOUT.

Disons pour être plus clair que la formule donnant le cosinus comme rapport coté adjacent / hypothénuse est une conséquence de la définition, pas la définition.
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par evariste_G »

Ah ben voilà ... :D La définition que l'on donne en collège n'est donc pas une définition ... mais une conséquence de la définition ? Là, je comprends mieux ! Mais, juste comme ça, est-ce quelqu'un sait comment le cosinus (ou le sinus) a été défini à l'origine ?
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par guiguiche »

Yota a écrit :[...]rapport coté adjacent / hypothénuse est [...]
hypoténuse :wink: (je l'ai longtemps écrit comme toi :oops: )
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par Framboise »

>Yota
+1
L'application pour les triangles quelconques dérive souvent des triangles rectangles.
De plus la formule est simple pour les triangles rectangles, mais la formule de Pythagore "améliorée" pour les triangles quelconques se complique notablement.

>Jean-charles
Il y avait longtemps que je n'avais pas vu la "trigo elliptique" sn, cn, dn ... ( Jacobian Elliptic Functions ) que j'ai passablement oubliée.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par kojak »

evariste_G a écrit :est-ce quelqu'un sait comment le cosinus (ou le sinus) a été défini à l'origine ?

En gros directement avec le cercle trigonométrique.
Tracer le cercle de centre O de rayon 1 et placer un triangle rectangle d'hypoténuse le rayon. La longueur du coté adjacent c'est le cosinus de l'angle et l'opposé le sinus. :wink:
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par evariste_G »

kojak a écrit :
evariste_G a écrit :est-ce quelqu'un sait comment le cosinus (ou le sinus) a été défini à l'origine ?

En gros directement avec le cercle trigonométrique.
Tracer le cercle de centre O de rayon 1 et placer un triangle rectangle d'hypoténuse le rayon. La longueur du coté adjacent c'est le cosinus de l'angle et l'opposé le sinus. :wink:
Ah, c'est aussi simple que ça ? Je pensais que ça venait de choses moins immédiates, je suis déçu ... :D Je devrais décoller mon nez de mes cours de collège, ça me ramolli le cerveau :) Merci !

N.B. : hypo = sous et tenuse = tendu. hypoténuse = sous-tendu à l'angle droit (c'est vrai que je confonds très souvent ... et que je mets quelques fois 2 "h" ...)
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par kojak »

evariste_G a écrit : Ah, c'est aussi simple que ça ? Je pensais que ça venait de choses moins immédiates, je suis déçu
Ben vu de quand ça date la trigo, ça fait très très longtemps, je ne pense pas qu'ils connaissaient les séries :D
mais bon, je dis p'être une ânerie :wink:
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par rebouxo »

Je doute aussi de leur connaissance du cercle trigo ! J'ai pas mes bouquins un peu ancien avec moi (vacances) mais je jetterais un coup d'œil en rentrant. Mais je pencherais pour la version triangle rectangle. En commençant par le sinus d'ailleurs, qui donne la hauteur d'une étoile sur l'horizon, non ?

Olivier
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par arnaudC »

Bonjour

Il me semble que la "définition" proposée par evariste_G ne serait pas uniquement dépendante de l'angle. Cela empêche de parler de cosinus de l'angle machin... Alors que dans nos bons vieux triangles rectangles du collège, la notion de côté adjacent sur l'hypoténuse ne dépend que de l'angle... Je me suis par contre souvent demandé pourquoi on avait des formules de ce type et pas inversées... Et également pourquoi on parlait du cosinus avant le sinus dans nos programmes de collège.

Cordialement
A.C.
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Re: La notion de cosinus en 4ème

Message non lu par Tonn83 »

Bonjour, Tout le Monde,

Les premières représentations des triangles remontent aux Babyloniens. Mais ces derniers ne dessinaient pratiquement (exclusivement ?) que des triangles rectangles sur leurs tablettes. Ils ne connaissaient pas les mesures d'angles, mais avaient une notion induite de l'angle droit. Horizontales et verticales sont des notions naïves. Les triangles rectangles étaient systématiquement positionnés de sorte que les petits côtés soient plus ou moins parallèles aux bords de la tablette.

La toute première mention du théorème de Thalès remonte à cette civilisation. Elle représente un triangle rectangle et deux segments parallèles aux deux côtés. La figure d'origine n'est pas légendée, nommer des points par des lettres n'est pas du tout intuitif ! Au risque de faire de nombreux contre-sens historiques: la figure représente un triangle ABC rectangle en A, un point M sur le segment [BC], et l'intersection N (resp P) de (AB) (resp. (AC)) avec la parallèle à (AC) (resp. (AB)) passant par M. (Si l'un d'entre vous souhaite importer ici une figure...) La relation (non justifiée) s'écrirait aujourd'hui:
$\frac{MN}{CN}=\frac{MP}{BP}$


En conséquence, la tangente d'un angle aigu était connue avant toute définition de la mesure d'un angle. D'ailleurs, la tangente représente une "pente" et c'est certainement le sens du calcul ci-dessus. On peut aussi y reconnaitre les premières notions de proportionnalité.

La première définition de la tangente précède donc la représentation du cercle trigonométrique. (Quelqu'un sait-il quand le cercle trigonométrique a-t-il été introduit ? Précède-t-il les travaux de Cauchy et d'Argand ? Autrement dit, précède-t-il la représentation géométrique des nombres complexes ?) :roll:

Pour revenir à la question d'origine: Car les sinus à eux seuls suffisent en trigonométrie :? Dans un triangle ABC avec mettons des angles aigus $\alpha$, $\beta$, et $\gamma$, on pose $AB=c$, $BC=a$ et $CA=b$. Cher évariste, as-tu remarqué:
$\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \gamma}{c}$ ?

(Calcule chaque hauteur de deux manières différentes :wink: ) Par conséquent:
$\frac{b}{a}=\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$.

Ton rapport CN/NM est donc proportionnel au sinus de l'angle NCM, et le coefficient de proportionnalité est déterminé par le sinus de l'angle en N. Voilà pourquoi personne n'a essayé de définir un sinus twisté :evil: :D :D :D :D :D :D
Tonn83