Convolution sur 1/x = dérivé

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emfranklin

Convolution sur 1/x = dérivé

Message non lu par emfranklin »

Bonjour.

On sait que

$$\int u^{-1} \partial_{x}h(x-u) du$$

se comporte, grosso modo, comme $\partial_{xx}h$. Je voudrais savoir le pourquoi.

Est-ce que quelqu'un le sait?
A+
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

En creusant dans mes souvenirs, il faut travailler en valeur principale, i.e.

$$\mathrm{VP} \int f(x-u)/u\;du = \lim_\epsilon \int_{-\infty}^{-\epsilon}f(x-u)/u\; du+\int^{+\infty}_{+\epsilon}f(x-u)/u\;du$$

pour donner un sens à cette convolution par la fonction $1/x$. Si $f$ le permet je jetterai un coup d'oeil à son développement de Taylor.
emfranklin

Message non lu par emfranklin »

Merci.

Au fait, je crois qu'on peut s'en sortir en regardant cela dans le sens des fonctions généralisées:

$\int u^{-1} \partial_{x}h(x-u)du$ = $< \partial_{y}(\ln(y)),\partial_{x}h(x-u) >$ = $< \ln(y),\partial_{xx}h(x-u) >$ = $\partial_{xx} <\ln(y),h(x-u)>$

qui se comporte comme $\partial_{xx}h $ :)
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

Il faut surtout donner un sens à ce $\int u^{-1} f(x-u) du$.