Comment formaliser ?

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DUET
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Comment formaliser ?

Message non lu par DUET »

Bonsoir,
Quelqu'un connait-il une source pour m'aider à formaliser cette définition:

Soit un ensemble de $n+1$ réels $a_0,\dots,a_n$.
On peut toujours réécrire leur somme comme la somme de $n+1$ réels $T_k^n$ (je n'utilise aucune puissance dans ce message) qui sont des pondérations des $a_i$ construits ainsi :

1) étape 1
On commence par mettre en réserve un certain nombre de termes dont on aura besoin :
$a_k$, puis les $n$ moyennes de $a_k$ avec les autres $a_i$, puis les $C_n^2$ moyennes possibles à 3 termes de $a_k$ avec les couples $(a_i,a_j)$, etc... jusqu'à la seule dernière moyenne $\frac{a_0+\dots+a_n}{n+1}$.
2) étape 2
On regroupe ces termes par groupe de $n+1$ : la moyenne à 1 terme ($a_k$), une moyenne à 2 termes,$\dots$, puis la moyenne à $n+1$ temes. Il faut que le groupe soit complet c'est à dire que s'il manque des termes dans la réserve qu'on a faite, on doit faire des doublons (triplons...). On baptise $G_m$ un tel groupe. Le point délicat est qu'il faut recenser tous les $G_p$ possibles distincts c'est à dire différant d'au moins un terme de chacun des autres $G_m$. Disons qu'ils sont au nombre de $\nu^n$. On finit par additionner tous leurs termes ensemble, puis par les additionner entre eux et, enfin, par diviser le tout par$(n+1)\nu^n$.

Par exemple, avec $n=1$ on n'a qu'une moyenne possible donc, pour $T^1_0$


l'étape 1) recense $a_0$ et $\frac{a_0+a_1}{2}$ et
l'étape 2) indique qu'il n'ya qu'un groupe donc on divise la somme totale par 2 :

$a_0+a_1=T^1_0+T^1_1$
$T^1_0=\frac{a_0+\frac{a_0+a_1}{2}}{2}=\frac{3}{4}a_0+\frac{1}{4}a_1$
$T^1_1=\frac{a_1+\frac{a_1+a_0}{2}}{2}=\frac{3}{4}a_1+\frac{1}{4}a_0$

Pour $n=2$ et $T^2_0$,

1)$a_0$,$\frac{a_0+a_1}{2}$,$\frac{a_0+a_2}{2}$ et $\frac{a_0+a_1+a_2}{3}$
2)$G_1=a_0+\frac{a_0+a_1}{2}+\frac{a_0+a_1+a_2}{3}$ et $G_2=a_0+\frac{a_0+a_2}{2}+\frac{a_0+a_1+a_2}{3}$ donc on divise la somme totale par 6...

Ce que j'aimerais formaliser c'est d'abord la définition de $T^n_i$ ce qui me permettrait peut-être de démontrer qu'on a seulement besoin de 2 coefficients pour décrire $T^n_i$ qui s'écrit toujours

$T^n_i=\alpha^n a_i+\omega^n(a_0+\dots+a_{i-1}+a_{i+1}+\dots+a_n)$

avec $\alpha^n+n\omega^n=1$, et aussi démontrer que $T^2_i=\frac{11}{18}a_i+\frac{7}{36}(a_j+a_k)$, que $T^3_i=\frac{25}{48}a_i+\frac{23}{144}(a_j+a_k+a_\ell)$, et calculer $\alpha^4$ et donc $\omega^4$, autrement qu'à la main (la méthode énumérative commence à devenir pénible à partir des $4\nu^3=36$ termes de $n=3$).
Désolé pour la longueur mais justement je ne sais pas comment condenser.
Dernière modification par DUET le mardi 15 août 2006, 23:21, modifié 1 fois.
DUET
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Message non lu par DUET »

Comme quoi chercher à se faire comprendre sur un forum permet de s'éclaircir les idées
$\nu^n=\prod_{i=1}^nC_n^i$ d'où $\alpha^n=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i}}{n+1}$ et on peut donc le calculer itérativement, en posant $\alpha^0=1$ par la formule
$\alpha^n=\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{n+1}+n\alpha^{n-1}\right)$
Dernière modification par DUET le mercredi 16 août 2006, 15:59, modifié 1 fois.
nirosis
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Message non lu par nirosis »

Oui, c'est arrivé à beaucoup de monde de trouver la solution en en parlant à quelqu'un d'autre... Ca éclaircit les idées :wink:
Tant mieux pour toi :P
MB
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Message non lu par MB »

Oui, c'est une bonne chose si tu as trouvé par toi même, car il fallait être motivé pour se plonger dans ton affaire là ! :sweatdrop:
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
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