Primitives et dérivation

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MB
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Primitives et dérivation

Message non lu par MB »

Bonjour, voici une question théorique :

Soit $f$ une fonction intégrable (au sens de Lebesgue) sur un segment $[a;b]$ et soit $F$ la fonction définie sur $[a;b]$ par :

$$ F(x) = \ds\int_a^x f(t) dt $$

On sait que $F$ est presque-partout dérivable sur $[a;b]$. De plus, si $f$ coïncide presque-partout avec une fonction $g$ continue sur $[a;b]$ (C1), alors $F$ est dérivable sur $[a;b]$ et $F' = g$.

La condition (C1) est suffisante pour garantir la dérivabilité de $F$ mais n'est pas nécessaire.

Cependant, une condition nécessaire pour la dérivabilité de $F$ est que $f$ coïncide presque-partout avec une fonction vérifiant le théorème des valeurs intermédiaires sur $[a;b]$ (C2).

En effet, si $F$ est dérivable alors $f$ coïncide avec $F'$ presque-partout sur $[a;b]$.

La condition (C2) n'est cependant pas suffisante.

Une condition nécessaire et suffisante doit donc se situer entre les fonctions continues et les fonctions vérifiant simplement le théorème des valeurs intermédiaires ...

Cette CNS existe-t-elle ? Est-elle connue ?
kilébo
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Message non lu par kilébo »

Je crois que la réponse se trouve dans le chapitre dérivation du Rudin. Si tu l'as sous la main ...
MB
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Message non lu par MB »

kilébo a écrit :Je crois que la réponse se trouve dans le chapitre dérivation du Rudin. Si tu l'as sous la main ...
Oui, merci, j'ai regardé et en effet le problème est posé. Mais il ne s'agit pas tout à fait de la même optique il me semble. Il cherche plutot des hypothèses sur $F$ pour que l'égalité $F(x) = \ds\int_a^x f(t) dt$ soit vérifiée (et il suppose toujours que $f=F'$).

Par exemple, le théorème 7.21 dit que si une fonction $f$ de $[a;b]$ dans $\R$ est dérivable en tout point de $[a;b]$ et que sa dérivée $f'$ est intégrable, alors on a :

$$ f(x)-f(a) = \ds\int_a^b f'(t) dt $$

Moi je recherche plutôt des conditions sur une fonction intégrable $f$ définie sur $[a;b]$ et telle que la fonction $F$ définie par $F(x) = \ds\int_a^x f(t) dt$ soit dérivable sur $[a;b]$.
manut

Message non lu par manut »

MB a écrit : Moi je recherche plutôt des conditions sur une fonction intégrable $f$ définie sur $[a;b]$ et telle que la fonction $F$ définie par $F(x) = \ds\int_a^x f(t) dt$ soit dérivable sur $[a;b]$.
salut,
je crois (mais je n'ai pas le livre ici, alors dur de verifier !) que la reponse se trouve tout de meme dans le Rudin. Il me semble qu'une CNS est a peu pres que f soit VBN (variations bornees). Bien sur, il faut verifier dans le livre.

Par ailleurs, ta CN (C2) plus haut est amusante. Mais je ne crois pas qu'elle soit pertinente pour le pb, d'autant que les fonctions continues coincident avec les fonctions verifiant le TVI sur tout intervalle. Bien sur toi tu dis que c'est sur l'intervalle [a,b] et non pas sur tout l'intervalle. Mais je ne crois pas que cette propriete apporte grand-chose.
Bref, il faut verifier, mais je crois bien que VBN apporte une reponse. A moins qu'il ne s'agisse des foncitons absolument continues, je ne sais plus tres bien. Cf Rudin, ou peut-etre le livre de Tougeron.
Le Barbu Rasé

Message non lu par Le Barbu Rasé »

Manut a écrit : les fonctions continues coincident avec les fonctions verifiant le TVI sur tout intervalle
???
Je ne comprends pas. Que veux-tu dire ?
Il y a beaucoup de fonctions PVI qui ne sont pas continues (n'importe quelle fonction "écran noir" fait l'affaire).
manut

Message non lu par manut »

Le Barbu Rasé a écrit :
Manut a écrit : les fonctions continues coincident avec les fonctions verifiant le TVI sur tout intervalle
???
Je ne comprends pas. Que veux-tu dire ?
Il y a beaucoup de fonctions PVI qui ne sont pas continues (n'importe quelle fonction "écran noir" fait l'affaire).

Désolé ! J'ai écrit une bêtise (cf théorème de Darboux, selon lequel, pour toute fonction f dérivable, f' vérifie le TVI sur tout intervalle !!!), et après vérification, je me corrige (et je viens d'apprendre des trucs) :

1. Si f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur tout intervalle, et est injective, alors elle est continue.

2. Il existe des fonctions vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires sur tout intervalle, et qui ne sont continues en aucun point.

3. Il existe des fonctions vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires sur tout intervalle, et qui ne sont pas des dérivées.

4. Théorème de Rowe : Si une fonction vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur tout intervalle, et est telle que, pour tout r, la fibre f^{-1}(r) est fermée, alors f est continue.



Merci d'avoir attiré mon attention sur cette bêtise, cela m'a permis d'apprendre des petits résultats rigolos.
a+,