Compilation d'un document Mac sous Windows

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pzorba75
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Compilation d'un document Mac sous Windows

Message par pzorba75 »

Bonjour à tous,
j'utilise un PC sous Windows 10 avec Texmaker et Miktex 2.9 pour faire tous mes documents sans problème particulier. J'ai reçu un fichier créé sur un Mac OS (Encodage Occidental (Mac OS Roman)) et je ne peux pas le compiler. Tous les caractères spéciaux du français sont en erreur et apparaissent en gras sur deux ou trois caractères. En regardant le fichier dans Notepad++, il me semble que l'encodage d'origine est ANSI.
Je ne comprends pas les règles de codage, étant toujours resté fidèle à Windows et ne m'étant jamais confronté aux autres systèmes.
Ma question : Comment faut-il modifier le fichier que j'ai mis en pièce jointe pour le compiler sur mon PC , si possible sans avoir à reprendre tous les caractères spéciaux manuellement.
Merci d'avance pour l'aide apportée.
Pierre
Spe4Ch (1).txt
L'objet n'est pas le contenu de ce message mais l'encodage pur pouvoir le compiler sous Windows.
Vous ne pouvez pas consulter les pièces jointes insérées à ce message.
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Re: Compilation d'un document Mac sous Windows

Message par MB »

Texmaker ne détecte pas l'encodage du fichier ?

J'utilise TeXstudio et il détecte bien qu'il s'agit d'un fichier macintosh. Je sélectionne alors UTF-8, je commente la ligne \usepackage[applemac]{inputenc} et je compile. Ça semble fonctionner.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
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pzorba75
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Re: Compilation d'un document Mac sous Windows

Message par pzorba75 »

Je ne comprends pas comment indiquer à TeXmaker que le fichier vient d'un système Mac. Dans Outils, j'ai une fonction Convertir en Unicode, quand je sélectionne le fichier dans cette fenêtre, il est affiché Encodage d'origine ISO-8859-1(ce qui me semble caractériser des fichiers Windows), et quand je clique convertir en UTF-8, il ne se passe rien, en tout cas aucun retour visible de cette fonction.
Je patauge complètement.
J'ai essayé de compiler en retirant la ligne \usepackage[applemac]{inputenc} mais j'ai toujours les mêmes erreurs ...
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MB
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Re: Compilation d'un document Mac sous Windows

Message par MB »

A l'ouverture du fichier, Texmaker détecte qu'il ne s'agit pas d'un fichier UTF-8 (qui est le type d'encodage que tout le monde devrait utiliser et donc le type d'encodage par défaut utilisé par Texmaker). Mais contrairement à Texstudio, Texmaker n'est pas en mesure de déterminer seul le type d'encodage utilisé : il demande donc à l'utilisateur de le renseigner. Dans ce cas, il faut indiquer macintosh et le fichier devrait s'ouvrir correctement. Une fois que c'est fait, le fichier devrait pouvoir être compilé sans aucune modification (et donc en restant au format macintosh).

Une autre approche serait de convertir une bonne fois pour toute ce fichier en UTF-8. Il semblerait que Texmaker propose un outil permettant d'effectuer cette tâche (convertir en unicode) mais j'ai l'impression qu'il faut ouvrir le fichier puis faire un copier/coller du résultat affiché dans la fenêtre de conversion.

Pour ce type de manipulation, il me semble que Texstudio (qui est un fork de Texmaker) est plus pratique. D'une part il détecte automatiquement l'encodage macintosh du fichier initial et d'autre part la conversion en UTF-8 est immédiate.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
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Re: Compilation d'un document Mac sous Windows

Message par pzorba75 »

J'ai ouvert le fichier dans la fenêtre de Outils - Convertir en Unicode, les caractères bizarres on été remplacés par un caractère classique (différent de ce que vois quand je tape au clavier...),en supprimant la commande \usepackage[applemac]{inputenc} la compilation bute sur toutes les lignes où se trouaient des caractères bizarres. Message d'erreur : Package inputenc Error: Invalid UTF-8 byte sequence. J'ai essayé en ajoutant \usepackage[UTF8]{inputenc} mais j'obtiens les mêmes erreurs.
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gigiair
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Re: Compilation d'un document Mac sous Windows

Message par gigiair »

Si tu peux joindre la source de ton document et si elle doit t'en transmettre d'autres, le plus simple est qu'elle te les fournisse en encodage TeX : les caractères accentués comme "é" sont encodés "\'e" et tout à l'avenant. il n'y a que des caractères ASCII dans le document, pas besoin de charger inputenc et le document peut être compilé partout. J'ai connu des éditeurs de texte qui le proposaient à leurs utilisateurs dans leurs menus, je ne me souviens plus lesquels.

J'ai essayé de le convertir en utilisant iconv et recode iconv ne va pas bien et recode convertit les fins de ligne en ^M.
J'ai du le retoucher « à la main » pour avoir un résultat correct.
J'ai remplacé 3.eps et 4.eps par example-image-a et example-image-b pour que le compilateur ne râle pas s'il ne connait pas ces deux fichiers (c'est le cas chez moi).

Code : Tout sélectionner

\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage[dvips]{graphicx}
%\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage{eurosym} \usepackage{mltex}\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,tabls,amssymb} \usepackage[francais]{babel}
%--------------------------------------------------------------------------
\newcommand{\HRule}% 
        {\rule{\linewidth}{0.5mm}} 
%---------------------------------------------------------------------
\begin{document}
%----------------------
\section{Exercice 3 : Modèle de parasitisme}
%-----------------------
Un parasitoïde est un organisme, essentiellement un insecte, qui se développe à l’intérieur d’un autre organisme appelé hôte, et qui inévitablement tue ce dernier au cours de son développement. On s’intéresse à l’évolution d’un parasitoïde particulier, l’hyménoptère Holcothorax testaceipes (sorte de petite guêpe), qui pond dans les larves de papillons de la famille des Gracillariidae (lépidoptère). La larve de guêpe y commence son développement et le termine dans la chenille d’où elle émerge en la tuant.\\

Une étude statistique montre qu’une population de $x$ guêpes ne parasite qu’une part notée $f (x)$ des larves de papillons de l’écosystème où $f$ est la fonction définie sur $[0 ;\,\infty[$  par $f (x ) = 1-\exp(-a\,x )$ avec $a = 0,01$.

\begin{enumerate}
%--------------------
\item Justifier l’affirmation suivante.

\textit  {Plus la population des guêpes est importante plus la part des larves de papillons parasités est grande.\\}
\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~:  La part des larves de papillons de l’écosystème est décrite par la fonction $f (x ) = 1-\exp(-0.01\,x )$. Sa dérivée $f'(x)=0.0.1\,\exp(-0.01\,x )$ étant positive la fonction $f(x)$ est donc une fonction croissante de la variable $x$ sur son intervalle de définition ce qui montre  que plus la population $x$ des guêpes est importante plus la part $f(x)$ des larves de papillons parasités est grande.
 \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}

D’une génération à l’autre, le nombre de larves de papillons restant non parasités augmente de 50 \%. Les guêpes ne vivent qu’une génération.\\

On note $p_n$ et $g_n$ les nombres respectifs de larves de papillons et de guêpes à la nième génération.\\

On admet que l’évolution des deux espèces se traduit par le système non linéaire de suites récurrentes suivant.

\[ \left\{\begin{array}{l}p_0,\,q_0 \text{ donnés, pour }n\in \mathbb N, \\p_{n+1}=1.5\,p_n\,(1-f(g_n))\\ g_{n+1}=p_n\,f(g_n)) \end{array}\right. \]

c'est-à-dire :

\[ \left\{\begin{array}{l}p_0,\,q_0 \text{ donnés, pour }n, \text{ avec } r=1.5 \text{ et }a=0.01\in \mathbb N, \\p_{n+1}=r\,p_n\,\exp(-a\,g_n)\\ g_{n+1}=p_n\,(1-\exp(-a\,g_n))) \end{array}\right. \]


\end{enumerate}


%-----------------------
\textbf{Partie 1 Experimentation}\\[2mm]

On prend pour conditions initiales 120 larves de papillons et 40 guêpes, soit $p_0=~120$ et $q_0 = 40$.
%------------------
\begin{enumerate}
%--------------------
\item À l’aide d’un tableur ou d’un logiciel, représenter la suite des hôtes ($p_n$) et celle des parasitoïdes ($g_n$) au cours des 35 premières générations.\\

Autrement dit, placer dans un repère les points $(n ;\, p_n )$ et les relier, de même pour les points $(n ;\,gn )$ pour $n$ variant de 0 à 35.
\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~:  
 
          \begin{figure}[h!]\begin{center}
                 \includegraphics[scale=0.45]{example-image-b}
        \end{center}\end{figure}

 \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
  
%--------
\item Qu’observe-t-on?
\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~:  Lorsque les populations respectives de papillon et de guêpes sont respectivement égales à 120 et 40 on constate qu'au bout de 35 générations la population de guêpes tend vers 0 lorsque celle es papillons augmente en dépassant sa valeur originelle.

\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
 
%--------
\item Que se passe-t-il si on change les conditions initiales ?
\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~:  Tous les comportement peuvent logiquement être observés, disparition de la population de papillons à la $35^\text{ème}$ génération suivies de celle des guêpes à la $36^\text{ème}$ lorsque $(p_0,\,g_0)=(120,,45)$ ou  disparition de la population de guêpes à la $23^\text{ème}$ génération suivies d’une augmentation régulière de la population des papillons au cours des générations suivantes lorsque $(p_0,\,g_0)=(100,40)$. Il n’y a apparemment pas de situation conduisant  à des populations se stabilisant à long terme à des valeurs différentes de celles des valeurs initiales. 

\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
 
%--------
\item Dans un autre repère, tracer l’ensemble des points ($p_n ;\,g_n$ ).
\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~:  
\newpage 
          \begin{figure}[h!]\begin{center}
                 \includegraphics[scale=0.45]{example-image-b}
        \end{center}\end{figure}

 \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
 
 %--------------------
\end{enumerate}

\textbf{Partie II : Points d’équilibre et linéarisation}\\[3mm]

%------------------
\begin{enumerate}
%--------------------
%--------
\item On appelle point d’équilibre d’un système de suites récurrentes les solutions constantes de ce système. Autrement dit, les points d’équilibre du précédent système sont les couples $(p\,; g)$ tels que :
\[ \left\{\begin{array}{l}p=1.5\,p\,\exp(-0.01\,g) \\g=p\,(1-\exp(-0.01\,g) \end{array}\right. \]
  
%--------
\item Montrer que ce système possède exactement deux solutions :
\[(0;\,0) \text{ et } (p^*;\,g^*)=(300\,\ln(1.5);\,100\,\ln(1.5))\]

\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~:  
Si $p=0$ alors d'évidence $g=0$. Dans le cas où $p,g\neq 0$ alors le système d'équation :
\[ \left\{\begin{array}{l}p=1.5\,p\,\exp(-0.01\,g) \\g=p\,(1-\exp(-0.01\,g) \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad  \left\{\begin{array}{l}g=100\,\ln(1.5) \\p=\dfrac{g}{1-\exp(-0.01\,g)} =300\,\ln(1.5)\end{array}\right. \]  
admet une solution unique $\{300\,\ln(1.5);\,100\,\ln(1.5)\}$

\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
  
%--------
\item On se place au voisinage du point d’équilibre non trivial $(p^*;\,g^*)$. Pour cela, on effectue alors   le changement de variables: $u_n= p_n-p^*$ et $v_n= g_n-g^*$. On admet que ces suites convergent vers 0. Les termes de ces suites restent alors proches de zéro.
Montrer que l’on obtient le système suivant :
\[ \left\{\begin{array}{l}u_0,\,v_0\text{ réels donnés, pour  } n \in \mathbb N \\u_{n+1}=(u_n+p^*)\,\exp(-0.01\,v_n)-p^*\\ v_{n+1}=(u_n+p^*)\,\left (1-\dfrac{2}{3}\exp(-0.01\,v_n)\right ) -g^*\end{array}\right. \]
\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~:  
Les équation  $p_n=u_n+p^*$     et $ g_n=v_n-g^*$ ainsi que  $p_{n+1}=u_{n+1}+p^*$ et $= g_{n+1}=v_{n+1}+g^*$ reportées dans le système d'équation :
\[ \left\{\begin{array}{l}p_{n+1}=1.5\,p_n\,(1-f(g_n))\\ g_{n+1}=p_n\,f(g_n)) \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad  \left\{\begin{array}{l}p_{n+1}=1.5\,p_n\,\exp(-0.01\,g_n)\\ g_{n+1}=p_n\,(1-\exp(-0.01\,g_n) )\end{array}\right. \]

\begin{align*}
        &\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}+p^*=1.5\,(u_n+p^*)\,\exp(-0.01\,(v_n+g^*))\\ v_{n+1}+g^*=(u_n+p^*)\,(1-\exp(-0.01\, (v_n+g^*))\end{array}\right. \\
        &--------------\\
        &\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}+p^*=1.5\,(u_n+p^*)\,\exp(-0.01\,(v_n+100\,\ln(1.5)))\\ v_{n+1}+g^*=(u_n+p^*)\,(1-\exp(-0.01\, (v_n+100\,\ln(1.5)))\end{array}\right. \\
        &--------------\\
        &\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}= (u_n+p^*)\,\exp(-0.01\,v_n)-p^*\\ v_{n+1}=(u_n+p^* )\,(1-\dfrac{2}{3}\exp(-0.01\, v_n )-g^*\end{array}\right. 
\end{align*}

\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}

Les termes des suites ($u_n$) et ($v_n$) sont proches de zéro quand $n$ est grand. On admet que dans ce cas que $\exp(-0.01\,v_n)= 1-0.01\,v_n$ et on décide de négliger les termes $u_n\,v_n$ par rapport à $u_n$ et $v_n$. \\

Montrer que l’on obtient alors le système linéaire suivant.
\[ \left\{\begin{array}{l}u_0,\,v_0\text{ réels donnés, pour  } n \in \mathbb N \\u_{n+1}= u_n-3\,\ln(1.5)\,v_n\\ v_{n+1}= \dfrac{1}{3}\,u_n +2\,\ln(1.5)\,v_n\end{array}\right. \]

\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
  \textbf{Réponse}~:  
  
  \begin{align*}
        &\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}= (u_n+p^*)\,\exp(-0.01\,v_n)-p^*\\ v_{n+1}=(u_n+p^* )\,\left (1- \dfrac{2}{3}\exp(-0.01\, v_n \right )-g^*\end{array}\right.\\
        &--------------------------  \\ 
        &\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}= (u_n+p^*)\,(1-0.01\,v_n)-p^*\\ v_{n+1}=(u_n+p^* )\,\left (1-\dfrac{2}{3}(1-0.01\,v_n\right )-g^*\end{array}\right. \\ 
        &-------------------------- \\  
        &\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=u_n-p^*\, 0.01\,v_n-0.0015\,u_n\,v_n\,\\ v_{n+1}=(u_n+p^* )\,\left (\dfrac{1}{3}+\dfrac{0.02}{3}\,v_n\right |)-g^*\end{array}\right. \\
        &-------------------------- \\  
        &\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}= u_n-p^*\, 0.01\,v_n-0.0015\,u_n\,v_n\,\\ v_{n+1}=\dfrac{u_n+p^* }{3} + \dfrac{0.02}{3}\,v_n\,u_n+\dfrac{0.02}{3}\,v_n\,p^*-g^*\end{array}\right.
\end{align*}

De la relation $p^*=3\,g^*=300\,\ln(1.5)$, en négligeant les termes $u_n\,v_n$ il vient :
    \[\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}= u_n-3\,\ln(1.5)\,v_n\\ v_{n+1}=\dfrac{u_n}{3} +  2\,\ln(1.5)\,v_n\ \end{array}\right. \]

\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
%--------------------
\end{enumerate}

\textbf{Partie III : Etude du système linéaire}\\[3mm]
\textit{On admet que ($u_n$) et ($v_n$) vérifient le précédent système}
 
%------------------
\begin{enumerate}
%--------------------
%--------
\item Montrer que  $\left |\begin{array}{r}p_n\\g_n \end{array}\right |$ vérifie le système matriciel $\left |\begin{array}{r}p_{n+1}\\g_{n+1} \end{array}\right |=A\,\left |\begin{array}{r}p_n\\g_n \end{array}\right |+B$ où $A=\left |\begin{array}{rr}1&-3\,\ln(1.5)\\1/2&2\,\ln(1.5)\end{array}\right |$ et $B=\left |\begin{array}{r}300\ln^2(1.5)\\-200\,\ln^2(1.5)\end{array}\right |$. On note pour tout $n$ de $\mathbb  N$,   $U_n=\left |\begin{array}{r}p_n\\g_n \end{array}\right |$


\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~: Des relations $u_n=p_n-p^*$ et $ v_n=g_n-g^*$ ainsi que  $u_{n+1}=p_{n+1}-p^*$ et $v_{n+1}=g_{n+1}-g^*$ reportées dans le système d'équation précédent on déduit :
  
 \begin{align*}
        &\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=\,u_n-3\,\ln(1.5)\,v_n\\ v_{n+1}=\dfrac{u_n}{3} +  2\,\ln(1.5)\,v_n\ \end{array}\right.\\
        &\left\{\begin{array}{l}p_{n+1}-p^*=(p_n-p^*)-3\,\ln(1.5)\,(g_n-g^*)\\ g_{n+1}-g^*=\dfrac{p_n-p^*}{3} +  2\,\ln(1.5)\,(g_n-g^*)\ \end{array}\right.\\
        &\left\{\begin{array}{l}p_{n+1} =p_n-3\,\ln(1.5)\,(g_n-100\,\ln(1.5))\\ g_{n+1}-g^*=\dfrac{p_n}{3} -\dfrac{p^*}{3} +  2\,\ln(1.5)\,(g_n-100\,\ln(1.5))\ \end{array}\right.
\end{align*}

De la relation $p^*=3\,g^*=300\,\ln(1.5)$ on déduit :
\[\left\{\begin{array}{l}p_{n+1} =p_n-3\,\ln(1.5)\,g_n+300\,\ln(1.5)^2\\ g_{n+1}=\dfrac{p_n}{3} +  2\,\ln(1.5)\,g_n-200\,\ln(1.5)^2\ \end{array}\right.\]

\[\left |\begin{array}{r}p_{n+1}\\g_{n+1} \end{array}\right |=\left |\begin{array}{rr}1&-3\,\ln(1.5)\\1/3&2\,\ln(1.5)\end{array}\right |\,\left |\begin{array}{r}p_n\\g_n \end{array}\right |+\left |\begin{array}{r}300\ln^2(1.5)\\-200\,\ln^2(1.5)\end{array}\right |\]
  
%--------
\item Montrer qu’il existe un unique vecteur stable pour ce système, c’est-à-dire un unique $U^*$ tel que $U^* = A\,U^* +B$. Que peut-on dire de ce vecteur stable ?
\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~: En faisant $p_{n+1}=p_n=p^*$, $g_{n+1}=g_n=g^*$ on obtient un sytème de deux équations à deux inconnues qui a  un couple unique de solution valant :
\[U^*=\left |\begin{array}{r}p*\\g* \end{array}\right |=\left |\begin{array}{r}300\,\ln(1.5)\\100\,\ln(1.5) \end{array}\right |\]
ce qui montre que le vecteur $U^*$ est unique. 

\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
  %--------------------
%--------
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $U_n= A^n\,(U_0-U^*)+U^*$.

 \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
\textbf{Réponse}~: 
\[U_{n+1}-U^*=U_{n}-U^*+B=U_{n}-(A\,U^*+B)+B)=U_{n}-A\,U^*\]
Des relations récurrentes :
\begin{align*}
        &U_1-U^*=A\,(U_0-U^*)\\
        &U_2-U^*=A\,(U_1-U^*)=A^2\,(U_0-U^*)\\
        &U_3-U^*=A\,(U_2-U^*)=A^3\,(U_0-U^*)\\
        &--------------
\end{align*}
On déduit que 
\[U_n-U^*=A^n\,(U_0-U^*)        \quad \Rightarrow \quad U_n=A^n\,(U_0-U^*)+U^*\]
 

 \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
  %--------------------
%--------
\item L’objectif des questions suivantes est d’expliquer comment on obtient une expression de la suite ($U_n$) en fonction de $n$.\\

%--------
        \begin{itemize}
        \item [a)-] On définit les réels $\alpha$ et $\beta$ par: $\alpha=1/2+\ln(1.5)$ et$\beta=-\sqrt{3\,\ln(1.5)-\alpha^2}$. \\
        
        On obtient grâce à un logiciel de calcul formel que $A=P\,C\,P^{-1}$ où :
\[C=\left |\begin{array}{rr}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{array}\right |\text {  et  } P=\left |\begin{array}{rr}3\,\ln{1.5}&0\\1/2-\ln(1.5)&\beta\end{array}\right |\]

On pose $z =\alpha + i\,\beta$. On note $z=R\,\exp(i\,\theta)$  l’écriture exponentielle de $z$ (avec $R        > 0$    et $\theta \in ]-\pi,\, \pi[$. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb N$ :

        \[C^n=\left |\begin{array}{rr}R^n\,\cos(n\theta)&-R^n\,\sin(n\theta)\\ R^n\,\sin(n\theta)&R^n\,\cos(n\theta)\end{array}\right |\]

         \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
        \textbf{Réponse}~:  $z=R\,\exp(i\,\theta)=R\,(\cos(\theta)+i\,\sin(\theta))=\alpha +i\,\beta$
        
        
        \[C=R\,\left |\begin{array}{rr}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{array}\right |\]
        
        La relation est vérifiée à l'ordre 2 :
\begin{align*}
        C=R^2\,\left |\begin{array}{rr}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{array}\right |^2&= R^2\,\left |\begin{array}{rr}\cos(\theta)^2-\sin(\theta)^2&-2\sin(\theta)\,\cos(\theta)\\ 2\sin(\theta)\,\cos(\theta)&\cos(\theta)^2-\sin(\theta)^2\end{array}\right |\\
        &=R^2\,\left |\begin{array}{rr}\cos(2\theta)&-\sin(2\theta)\\ \sin(2\theta)&\cos(2\theta)\end{array}\right |^2
        \end{align*}
On la suppose vérifiée à l'ordre $n$
        \[C^n=R^n\,\left |\begin{array}{rr} \cos(n\theta)&- \sin(n\theta)\\ \sin(n\theta)&\cos(n\theta)\end{array}\right |\]
à l'odre $n+1$ :
\begin{align*}
        C^n=&R^{n+1}\,\left |\begin{array}{rr} \cos(n\theta)&- \sin(n\theta)\\ \sin(n\theta)&\cos(n\theta)\end{array}\right |
\,\left |\begin{array}{rr} \cos(\theta)&- \sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{array}\right |\\
        &=R^{n+1}\,\left |\begin{array}{rr} \cos(n\theta)\cos(\theta)- \sin(\theta)\sin(n\theta)&- \cos(n\theta)\sin(\theta) -\cos(\theta)\,\sin(n \theta)\\ \cos(n\theta)\sin(\theta) +\cos(\theta)\,\sin(n \theta)&\cos(n\theta)\cos(\theta)- \sin(\theta)\sin(n\theta)\end{array}\right | \\
        &=R^{n+1}\,\left |\begin{array}{rr} \cos((n+1)\theta)&- \sin((n+1)\theta)\\ \sin((n+1)\theta)&\cos((n+1)\theta)\end{array}\right |
\end{align*}
La relation étant vérifiée à l'ordre $n+1$ est donc héréditaire et valide pour toute valeur de $n$.     
        
        \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
  
        %-----------
        \item [b)-] \textit{Toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. \\}
        
        Donner les différentes étapes de calculs qui nous permettraient d’obtenir une expression de $p_n$ et $g_n$ en fonction de $n$ (on ne demande pas d’effectuer ces calculs).
         \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}   
        \textbf{Réponse}~: 
        On a :
        \[A=P\,C\,P^{-1}\]
        avec :  \[C=\left |\begin{array}{rr}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{array}\right |=R\,\left |\begin{array}{rr}\cos(\theta)&-\,\sin(\theta)\\ \,\sin(\theta)&\,\cos(\theta)\end{array}\right |  \text {   et   } P=\left |\begin{array}{rr}3\,\ln{1.5}&0\\1/2-\ln(1.5)&\beta\end{array}\right |\]
        
On a démontré que  $U_n= A^n\,(U_0-U^*)+U^*$ où $U^*$ est un vecteur  unique qui a pour expression  \[U^*=\left |\begin{array}{r}p*\\g* \end{array}\right |=\left |\begin{array}{r}300\,\ln(1.5)\\100\,\ln(1.5) \end{array}\right |\]
$A^n$ ayant pour expression :

\[ A^n= P\,C\,P^{-1}\times  P\,C\,P^{-1} \times ......... P\,C\,P^{-1}= P\,C^n\,P^{-1}\]
Disposant de l'expression de $C^n=f(n)$ il suffit de calculer la valeur de $R$ qui vaut $R=\alpha^2+\beta^2=3\,\ln(1.5)$ et celle de :
\[P^{-1}= \left |\begin{array}{rr}3\,\ln{1.5}&0\\1/2-\ln(1.5)&\beta\end{array}\right |^{-1}=P=\left |\begin{array}{rr}3\,\ln{1.5}&0\\1/2-\ln(1.5)&\beta\end{array}\right |\]
pour disposer de tout les éléments permettant d'exprimer  $U_n$ et donc $p_n$ et $g_n$ en fonction de $n$ selon :
\[U_n=\left |\begin{array}{r}p_n\\g_n \end{array}\right |=P\ C^n\,P^{-1}\,(U_0-U^*)+U^*\]
\small
\begin{align*}
        \left|\begin{array}{r}p_n\\g_n \end{array}\right|=&R^n\, \left |\begin{array}{rr}3\,\ln{1.5}&0\\1/2-\ln(1.5)&\beta\end{array}\right |\times \left |\begin{array}{rr} \cos(n\theta)&- \sin(n\theta)\\ \sin(n\theta)&\cos(n\theta)\end{array}\right |\times \left |\begin{array}{rr}3\,\ln{1.5}&0\\1/2-\ln(1.5)&\beta\end{array}\right |^{-1}\\
        &\times  \,\left |\begin{array}{r}p_0-300\,\ln(1.5)\\g_0-100\,\ln(1.5) \end{array}\right |+\left |\begin{array}{r}300\,\ln(1.5)\\100\,\ln(1.5) \end{array}\right |
\end{align*}
\normalsize
autrement dit expression de $p_n$ et $g_n$ en fonction de $n$. 
 
\vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm}
  %--------------------
 \end{itemize}
  %--------------------
\end{enumerate}
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\end{document}
%----------------------------------

JJR.
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