Torsion de formes différentielles

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Aleph

Torsion de formes différentielles

Message non lu par Aleph »

Bonjour,

quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce qu'est une forme différentielle tordue?

D'avance merci!
Tonn83
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Re: Torsion de formes différentielles

Message non lu par Tonn83 »

Si $E$ est un espace vectoriel de dimension fini, on note $\det E$ la droite vectorielle $\Lambda^nE$ (où $\Lambda^*E$ est l'algèbre extérieure de $E$). Si un fibré vectoriel réel $\xi$ est alors associé un fibré $\det\xi$ en droites réelles et $\xi$ est orientable ssi $\det \xi$ est trivialisable (pourquoi?).

Si M est une variété orientée de dimension n, il existe des n-formes partout non nulles, qu'on appelle des formes volume. Elles permettent de définir de bonnes mesures sur M (sans atome et de support M). Sur une variété différentielle non orientable, comme le plan projectif réel, il n'existe aucune forme volume. Une forme tordue est une forme différentielle à valeurs dans $\det TM$. Par exemple, sur le plan projectif réel, il existe une 2-forme tordue qui ne s'annulle pas.

La bande de Mobius $B$ est le quotient de $\R^2$ par $f:(x,y)\mapsto (x+1,-y)$. La forme $dx\wedge dy$ ne passe pas au quotient, sauf si on l'interprète comme une forme tordue. Il faut voir que $f$ agit sur $\det T\R^2$ par $\det df=-id$.

Avant de comprendre ce qu'est une forme tordue, vois si dans ton problème tu ne peux pas tout simplement passer à un revêtement double, ce qui est une solution souvent plus pratique. Si $g$ est une métrique sur $\det TM$, alors $M'=\{x\in \det M,\, g(x)=1\}$ est un revêtement double de $M$ et une variété naturellement orientée. En effet, l'identité sur M' peut être interprétée comme une section du fibré $\det TM'=\pi^*\det TM$ (pourquoi?).

J'espère que ma réponse te sera utile.
Dernière modification par guiguiche le dimanche 14 février 2010, 15:13, modifié 1 fois.
Raison : balises $ à la place de [tex] pour les apostrophes (')
Tonn83
Aleph

Re: Torsion de formes différentielles

Message non lu par Aleph »

Merci pour ta réponse!
Désolé, j'ai mis un peu de temps à poster : j'ai cherché à déchiffrer ton message mais on ne parle clairement pas la même langue! ^^
Tonn83 a écrit :Si $E$ est un espace vectoriel de dimension fini, on note $\det E$ la droite vectorielle $\Lambda^nE$ (où $\Lambda^*E$ est l'algèbre extérieure de $E$).
Je prends $E=\mathbb{R}^n$ avec $n\in\mathbb{N}\backslash\{0\}$. Concernant l'algèbre extérieure de $\mathbb{R}^n$, on se comprend.
Tonn83 a écrit :Si un fibré vectoriel réel $\xi$ est alors associé un fibré $\det\xi$ en droites réelles et $\xi$ est orientable ssi $\det \xi$ est trivialisable (pourquoi?).
Je ne sais pas ce qu'est un fibré vectoriel. Si tu connais une référence sur le sujet, je suis preneur (plutôt un livre que wilkipedia...).
Tonn83 a écrit :Si M est une variété orientée de dimension n, il existe des n-formes partout non nulles, qu'on appelle des formes volume.
Je ne connais pas non plus la théorie des variétés différentielles mais j'ai des références là-dessus (de Rham par exemple).
Par contre, je n'ai pas de problèmes avec les formes volumes (et tout ce qui va avec : multi(co)vecteurs simples, orientabilité, ...).
Tonn83 a écrit :Avant de comprendre ce qu'est une forme tordue, vois si dans ton problème tu ne peux pas tout simplement passer à un revêtement double, ce qui est une solution souvent plus pratique.
Si je comprends bien la notion de revêtement double, dans mon cas, $M'=\{\alpha\in\Lambda^n\mathbb{R}^n;\|\alpha\|_2=1\}$ est un revêtement double de $\mathbb{R}^n$.
Mon problème consiste à associer des formes différentielles à des complexes polyédriques pour faire de l'approximation par morceaux de champs à carré sommable. Je sais construire de telles formes différentielles mais je veux savoir si elles sont tordues ou pas.