Intersection de deux hyperboles

[patrickVD]

Bonjour, voici le problème sur lequel je me suis cassé les dents tout le week end....

Je me donne une première hyperbole dans le plan $H_{1}$ d'équation :
$\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$

Je ne m'intèresse qu'à la nappe "positive", je peux exprimer $x_{1}$ en fonction de $y_{1}$ d'après la relation précédente par :
$x_{1} =+a_{1}\sqrt{(1+\frac{y_{1}^{2}}{b_{1}^{2}})}$

Je me donne une seconde hyperbole $H_{2}$ d'équation :
$\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y_{2}^{2}}{b_{2}^{2}} = 1$

Ici encore je ne m'intèresse qu'à l'une des deux nappes et ai donc :

$x_{2} =+a_{2}\sqrt{(1+\frac{y_{2}^{2}}{b_{2}^{2}})}$

Je décide ensuite d'orienter l'hyperbole $H_{1}$ (respectivement $H_{2}$) d'un angle $\theta_{1}$ (respectivement $\theta_{2}$)

Je passe donc par les matrices de rotations et expriment $x_{11}$ et $y_{11}$ sous la forme :

$x_{12} = x_{1}\cos{\theta_{1}} - y_{1}\sin{\theta_{1}}$
$y_{12} = x_{1}\sin{\theta_{1}} + y_{1}\cos{\theta_{1}}$

Idem pour la deuxième hyperbole :

$x_{22} = x_{2}\cos{\theta_{2}} - y_{2}\sin{\theta_{2}}$
$y_{22} = x_{2}\sin{\theta_{2}} + y_{2}\cos{\theta_{2}}$

J'ai vérifié ces équations sur Matlab en faisant un $plot(x_{11},y_{11})$ et $plot(x_{22},y_{22})$, tout marche bien, j'arrive à tracer ces hyperboles orientées. Mon problème est que je n'arrive pas à déterminer analytiquement le point d'intersection de ces deux hyperboles. C'est assez frustrant car j'ai l'impression d'avoir toutes les équations entre les mains, pourtant tous mes essais se sont soldés par un echec, donc si quelqu'un peut m'éclairer... même pour un cas simple du type $\theta_{1} = 0$ et $\theta_{2} = \frac{\pi}{2}$ ce serait génial !

Merci beaucoup.

[Mikelenain]

Si tu commençais par résoudre ton problème avec des valeurs précises de $a_1$, $a_2$, $b_1$ et $b_2$ ?
Cela pourrait te donner une idée ...


Ensuite, pourquoi te restreinds-tu aux branches positives ?


Bon, sinon, j'aurais bien fait un système dans le genre qui suit : (shitt, il manque le mode "spoil". J'aurais pu mettre une idée de résolution en spoil :( )

[fp]

Ces deux branches d'hyperbole n'ont pas forcément un point d'intersection, me semble-t-il.

FP.

[Mikelenain]

effectivement.
mais avec la méthode (que je voulais marquer en "spoil") tu te retrouves avec une équation du second degré ...

[patrickVD]

Bonjour,

Effectivement les hyperboles n'ont pas forcément de point d'intersection, mais dans mon problème (qui avant tout physique) ce point d'intersection existe bel et bien!
Sinon c'est quoi marquer en "spoil" ?? Je serais très intéressé par la méthode en tout cas !

[Mikelenain]

Sinon c'est quoi marquer en "spoil" ?? Je serais très intéressé par la méthode en tout cas !

Le mod spoil est un module qu'on peut rajouter sur un forum. Il sert à masquer un texte qui est un spoil.
On peut voir le texte en cliquant sur un lien. Ainsi, les personnes qui ne veulent pas voir le texte ne sont pas obligées.

Bon, je vais te le mettre tout de même :

Puisque tu as les coordonnées d'un point d'intersection, les $x$ et les $y$ sont donc la même variable :
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 \\ \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 \end{array} \right }$
$\left\{ \begin{array}{l} x^{2} = {a_{1}}^2 \left ( \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} + 1 \right ) \\ x^{2} = {a_{2}}^{2} \left ( \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} + 1 \right ) \end{array} \right }$
Ce qui donne ensuite ceci :
$ {a_{1}}^2 \left ( \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} + 1 \right ) = {a_{2}}^{2} \left ( \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} + 1 \right ) $
Cela te donne une simple équation bidon en $y^2$ à résoudre simplement ;)

Et ensuite, je pense que tu n'auras guère de difficulté à déterminer la ou les valeurs de $x$.

[patrickVD]

En effet cette solution marche pour le cas d'un point d'intersection unique, mais rien ne dit qu'il y'en a qu'un, d'après le théorème de bezout il peut y en avoir jusqu'à 4... j'aimerais à terme traiter le cas d'intersection d'hyperboles quelconques...
Donc oui je suis sur qu'il y'en a au moins un, mais je ne sais pas combien, j'ai besoin de connaître toutes les solutions pour en déduire la plus physquement cohérente...

[fp]

En effet cette solution marche pour le cas d'un point d'intersection unique, mais rien ne dit qu'il y'en a qu'un, d'après le théorème de bezout il peut y en avoir jusqu'à 4... j'aimerais à terme traiter le cas d'intersection d'hyperboles quelconques...
Donc oui je suis sur qu'il y'en a au moins un, mais je ne sais pas combien, j'ai besoin de connaître toutes les solutions pour en déduire la plus physquement cohérente...

L'équation en $y^2$ donne, a priori, deux valeurs possibles pour $y$ et, à chacune de ces deux valeurs correspondent deux valeurs possibles pour $x$ (toujours en admettant que les hyperboles se coupent effectivement). Ce qui nous donne bien 4 points...

FP.

[Tonn83]

Chers fp et Patrick, je vous invite à regarder comment agit l'opérateur linéaire

$(x,y)\mapsto \left(\frac{a_1}{a_2}x,\frac{b_1}{b_2}y\right)$

sur la première hyperbole. [DEL]Les points d'intersection des deux hyperboles s'interprètent comme des vecteurs propres de cet opérateur, associés à la valeur propre 1. Je vous laisse le soin de conclure.[/DEL]

Patrick, es-tu certain de la forme de tes équations ? Tu affirmes que ton problème provient de la physique et que l'intersection doit exister. La méthode géométrique que je viens de mentionner te montre qu'il n'y a pas beoucoup de possibilités.

Tu peux aussi vouloir interpréter tes hyperboles comme des coniques dans $\C P^2$ Là le problème sera différent.

[patrickVD]

Salut Tonn83 et merci de t'intéresser à mon pb.
J'ai fait une petite figure sur matlab pour illustrer le pb parce que je parle pas le même langage désolé tu vas trop loin pour moi!! . Sur la figure on voit 2 "paires" de points focaux : les rouges et les noirs. Ils sont aléatoirement disposés dans l'espace. Je ne suis pas censé connaitre le point vert mais dans ma simulation je m'en sers pour determiner les coefficients a et b de mes hyperboles, en connaissant les coordonnées de mes points focaux j'en déduis les angles dans lesquels je dois tourner mes hyperboles et faire en sorte que leur centre correspondent au barycentre de chaque paire... (ici l'hyperbole rouge ressemble à une droite mais c'est un pur hasard...) Bref, du coup oui je suis a peu près sur de mes equations car visiblement elle me donne ce que je veule, mais le but du jeu pour moi est de retrouver le point vert connaissant les coefficients a1, b1, a2, b2, mes matrices de rotation et translations, donc plus généralement retrouver les points d'intersection possibles sera déjà un grand bon en avant. En espèrant avoir été un peu plus clair...

[Tonn83]

Les deux points focaux de l'hyperbole d'équation $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$ appartiennent à l'axe des ordonnées d'équation $x=0$. Avec les équations que tu as données, tu disposes de deux hyperboles dont les points focaux sont alignés (quatre points alignés). Je repose ma question : es-tu sûr de tes équations ?

[fp]

Les deux points focaux de l'hyperbole d'équation $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$ appartiennent à l'axe des ordonnées d'équation $x=0$. Avec les équations que tu as données, tu disposes de deux hyperboles dont les points focaux sont alignés (quatre points alignés). Je repose ma question : es-tu sûr de tes équations ?

Je ne comprends pas ; les deux hyperboles suivantes :

$$(H_1)\ :\quad x^2-y^2=1\quad;\quad(H_2)\ :\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{16}=1$$

ont bien 4 points d'intersection :

$$(\sqrt{5},2)\quad(-\sqrt{5},2)\quad(\sqrt{5},-2)\quad(-\sqrt{5},-2)$$

Non ?

FP.

[patrickVD]

Les deux points focaux de l'hyperbole d'équation $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$ appartiennent à l'axe des ordonnées d'équation $x=0$. Avec les équations que tu as données, tu disposes de deux hyperboles dont les points focaux sont alignés (quatre points alignés). Je repose ma question : es-tu sûr de tes équations ?

Selon moi les points focaux de l'équation $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$ appartiennent à l'axe des abscisses d'équation $y=0$.

Voici 3 hyperboles : la basique (en bleu), d'équation $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$ soit $x = \pm a_1\sqrt{1 + y_1^2/b_1^2}$
Sur Matlab :

Code : Tout sélectionner

y = linspace(-10,10,10000)
a1 = 1;
b1 = 1;
x = a1*sqrt(1 + y.^2/b1^2)
plot(x,y,'b')

(j'ai pris arbitrairement la nappe "positive")


La même hyperbole tournée de $\frac{\pi}{3}$ en rouge : soit $\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\frac{\pi}{3}& -sin\frac{\pi}{3} \\ sin\frac{\pi}{3} & cos\frac{\pi}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Sur Matlab :

Code : Tout sélectionner

x2 = cos(pi/3)*x - sin(pi/3)*y;
y2 = sin(pi/3)*x + cos(pi/3)*y;
plot(x2,y2,'r')

Et la 3e est la même hyperbole (en verte) que la premiere mais tournée de - pi/2 et translaté de 2 unités vers le bas soit $\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos\frac{-\pi}{2}& -sin\frac{\pi}{2} \\ sin\frac{-\pi}{2} & cos\frac{-\pi}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}$ :

Sur Matlab :

Code : Tout sélectionner

x3 = cos(-pi/2)*x - sin(-pi/2)*y + 0 ;
y3 = sin(-pi/2)*x + cos(-pi/2)*y + (-2);
plot(x3,y3,'r')

[MC]

@PatrickVD

Si tu connais uniquement les foyers de tes hyperboles, comment fais tu pour les connaître? Est-ce que tu disposes d'une autre information? Par ailleurs sur le desin que tu fais on voit bien que les deux branches d'hyperbole s'intersectent en deux points. Quelle information utilises-tu pour en sélectionner un?

Sinon, Une réponse possible t'a déjà été donnée sur les-mathématiques.net : paramétrer de façon rationnelle une des hyperboles et rentrer dans l'équation de l'autre hyperbole.

Une paramétrisation possible de $\dfrac{x^2}{a_1^2}-\dfrac{y^2}{b_1^2} = 1$ est $x=\dfrac{t^2+a_1^2b_1^2}{2b_1t}$, $y=\dfrac{-t^2+a_1^2b_1^2}{2a_1t}$ (une des branches correspond à $t>0$ et l'autre à $t<0$. Tu peux transformer cette paramétrisation par rotation et translation et ensuite tu rentres ça dans l'autre équation implicite $\dfrac{x^2}{a_2^2}-\dfrac{y^2}{b_2^2} = 1$. Ca te fait une équation de degré 4 en le paramètre $t$, d'où au plus quatre solutions réelles. Tu peux faire un premier tri en ne gardant que celles avec $t>0$.

[patrickVD]

Bonjour MC
Oui en pratique je connais mes foyers, je traite d'un pb d'acoustique et mes foyers sont des microphones tout simplement, donc je sais où je les place. En tout cas je vais essayer de partir sur cette paramétrisation, et vous tiens au courant, merci.

[fp]

Une idée, mais il y a peut-être plus simple : passer par la représentation paramétrique.

$$(H_1)\ \left\{\begin{array}{rcl}x_1&=&\varepsilon_1a_1\mathrm{ch}(t_1)\\y_1&=&b_1\mathrm{sh}(t_1)\\\end{array}\right.\ \forall\,t_1\in\mathbb{R},\ \varepsilon_1=\pm1\qquad(H_2)\ \left\{\begin{array}{rcl}x_2&=&\varepsilon_2a_2\mathrm{ch}(t_2)\\y_2&=&b_2\mathrm{sh}(t_2)\\\end{array}\right.\ \forall\,t_2\in\mathbb{R},\ \varepsilon_2=\pm1$$

On tourne $(H_1)$ de $\theta_1$ et $(H_2)$ de $\theta_2$ :

$$\left\{\begin{array}{rcl}X_1&=&x_1\cos(\theta_1)-y_1\sin(\theta_1)\\Y_1&=&x_1\sin(\theta_1)+y_1\cos(\theta_1)\\\end{array}\right.\qquad\left\{\begin{array}{rcl}X_2&=&x_2\cos(\theta_2)-y_2\sin(\theta_2)\\Y_2&=&x_2\sin(\theta_2)+y_2\cos(\theta_2)\\\end{array}\right.$$

On remplace $x_1$, $y_1$, $x_2$ et $y_2$ par leur expression en fonction de $t_1$ (ou $t_2$).

Puis on écrit que, aux points d'intersection, $X_1=X_2$ et $Y_1=Y_2$. On se retrouve alors devant le système :

$$\left\{\begin{array}{rcl}\varepsilon_1a_1\mathrm{ch}(t_1)\cos(\theta_1)-b_1\mathrm{sh}(t_1)\sin(\theta_1)&=&\varepsilon_2a_2\mathrm{ch}(t_2)\cos(\theta_2)-b_2\mathrm{sh}(t_2)\sin(\theta_2)\\\varepsilon_1a_1\mathrm{ch}(t_1)\sin(\theta_1)+b_1\mathrm{sh}(t_1)\cos(\theta_1)&=&\varepsilon_2a_2\mathrm{ch}(t_2)\sin(\theta_2)+b_2\mathrm{sh}(t_2)\cos(\theta_2)\\\end{array}\right.$$

On en déduit $\varepsilon_1\mathrm{ch}(t_1)$ et $\mathrm{sh}(t_1)$ en fonction de $\mathrm{ch}(t_2)$ et $\mathrm{sh}(t_2)$ puis on écrit $\mathrm{ch}^2(t_1)-\mathrm{sh}^2(t_1)=1$ pour en tirer une équation dans laquelle n'intervient plus que $\mathrm{ch}(t_2)$ et $\mathrm{sh}(t_2)$ qui doit se ramener à une équation du quatrième degré d'inconnue $T=\mathrm{e}^{t_2}$.

FP.

[MC]

@fp : ça revient sensiblement au même que ce que je propose, avec la paramétrisation (moins lourde) $x=a_ 1\,\dfrac{t^2+1}{2t}$, $y=b_1\,\dfrac{t^2-1}{2t}$

[MC]

@patrickVD : laisse moi deviner. Tu connais la différence de temps d'arrivée d'un signal sonore entre les deux micros de la première paire et entre les deux micros de la deuxième paire. Tu veux en déduire d'où le signal a été émis. Ce problème peut avoir de zéro à quatre solutions.

[Tonn83]

Tous les chemins mènent à Rome... Je crains fort que ce fil ne tourne en rond. Fp, tu as déjà proposé la solution plus haut.
Les points d'intersection des hyperboles $H_i$ d'équation $\frac{x^2}{a_i^2}-\frac{y^2}{b_i^2}=1$ sont

$\left(\pm\sqrt{\frac{a_1a_2(b_2-b_1)}{a_1b_2-a_2b_1}},\pm\sqrt{\frac{b_1b_2(a_2-a_1)}{a_1b_2-a_2b_1}}\right)$

Ils existent ssi $a_2-a_1$, $b_2-b_1$ et $a_1b_2-a_2b_1$ sont de même signe. La dernière quantité s'interprète comme un déterminant. Il se peut donc qu'il n'y ait aucun point d'intersection, ou des intersections doubles.

Mais es-tu sûr de tes équations d'hyperbole ? Les hyperboles $H_1$ et $H_2$ ont pour axe de symétrie les axes des abscisses et des ordonnées. Est-ce bien le cas ? Je regarde les figures que tu joins à tes messages, j'ai un doute, mais tu es seul juge.

[fp]

@fp : ça revient sensiblement au même que ce que je propose, avec la paramétrisation (moins lourde) $x=a_ 1\,\dfrac{t^2+1}{2t}$, $y=b_1\,\dfrac{t^2-1}{2t}$

Tout à fait. Je n'avais pas vu votre message avant de poster le mien.

FP.