Construction de R

[projetmbc]

Bonjour,
je cherche différentes constructions de R avec leurs preuves : suites de Cauchy dans Q, coupures de Dedekind, développement décimaux infinis...

Toute info. est la bienvenue.

[Valvino]

Salut

http://www.math.ens.fr/culturemath/math ... /reels.pdf
http://www.math.ens.fr/culturemath/math ... dekind.pdf

[Tonn83]

Je te conseille la lecture du livre de Mainzer et Remmert, Les nombres : leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles. Voir http://www.amazon.fr/nombres-histoire-l ... 2711789012. Le chapitre II est consacré aux nombres réels, et est très bien fait.

Si on admet l'existence de R, toute application additive $f$de N dans Z vérifie $f(n)=nf(1)$. Les réels peuvent donc être vus comme les pentes des applications additives de N dans R. Une application $f$ de N dans R est quasi-additive si $f(n+m)-f(n)-f(m)$ est borné. Dans ce cas, $f(n)/n$ converge dans R et si a est la limite alors $f(n)-an$ est bornée. Les fonctions bornées sont quasi-additives et la somme de deux fonctions quasi-additives est quasi-additive.

Le corps des nombres réels peut être défini comme suit :

• R est l'ensemble des classes d'applications quasi-additives de N dans Z à application bornée près,
• + est la loi induite par la somme d'applications quasi-additives,
• La multiplication est la loi induite par la composition,
• Etant données deux applications quasi-additives $f$ et $g:\N\rightarrow\Z$, $f< g$ si $g(n)-f(n)$ est positivf pour $n$ suffisamment grand.
• Si a représente la classe de $f$, la valeur absolue de $a$ est la classe de $n\mapsto |f(n)|$.

Des justifications sont nécessaires. Cette construction est récente. Elle est par exemple présenté dans cet article : http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0405/0405454v1.pdf. Elle a l'avantage de ne pas avoir à introduire les nombres rationnels.

[projetmbc]

Sympa cette dernière construction. Va falloir que je regarde cela.

Merci à tous les deux pour vos liens.

[rebouxo]

Il y a cela : La Planète R : Voyage au pays des nombres réels

Olivier

[projetmbc]

Merci.

Pour la construction des réels via des nombres à écritures décimales infinies, si quelqu'un a un doc. je serais preneur même si j'ai une petite idée pour faire cela via des séries formelles.