[Histoire] L'infini en mathématiques
ce n'est pas possible ...
j'aimerais savoir si vous faites la diffirence entre "a(x)=b" et "lim a(x)=b", la premier signifie que a(x) est b, la deuxiéme signifie que a tend ou converge vers b sans qu'ils soient obligatoirement égales.
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Re: ce n'est pas possible ...
Oui, bien sûr. Simplement, $0,999 \ldots$ ne se définit que par une limite. Si on note $a$ ce nombre et $a_n=1-10^{-n}$, on a : $a = 0,999 \ldots = \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} 1-10^{-n}= \ds\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 1$. Je ne peux pas être plus clair : il ne faut donc pas confondre $a_n$ et $a$.Zaim KHELIFI a écrit :j'aimerais savoir si vous faites la diffirence entre "a(x)=b" et "lim a(x)=b", la premier signifie que a(x) est b, la deuxiéme signifie que a tend ou converge vers b sans qu'ils soient obligatoirement égales.
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C'est que que j'avais cru comprendre. Cependant, ce n'est pas possible, puisque les deux nombres sont égaux (en fait ce sont deux écritures du même nombre). De même, il n'y a pas une infinité de réels entre $2$ et $2,00$. Par contre, il existe bien une infinité des réels entre deux nombres différents.Zaim KHELIFI a écrit :oops pardon, j'ai oublié de continuer ma phrase, je veux dire qu'il y a une infinité de nombre réels comprient entre 0.999... et 1.
En fait la définition donnée par le dico de Nightmare omet de préciser que la suite $a_n$ est unique dans l'ensemble des suites non-stationnaire en 9... Dans cet ensemble, il n'y a plus d'ambiguité de représentation, même pour les nombres décimaux ($\mb{D}$ n'est pas si ridicule, puisqu'il s'agit tout de même d'un anneau, et ça permet d'introduire la notion d'écriture décimale... De toute façon, on en est plus à une approximation près en Maths de Primaire/Collège/Lycée ! ).
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Jedaï
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Jedaï
Pour continuer ce topic, je voudrais signaler que dans la théorie des nombres surréels de Conway, il existe un nombre entre 0.999999.... et 1.
Plus exactement, il définit un nombre $\varepsilon$, étant plus petit que n'importe quel nombre, mais plus grand que 0...
Bien sûr, nous ne sommes plus dans le cadre de l'écriture décimale, mais tout de même :p
Plus exactement, il définit un nombre $\varepsilon$, étant plus petit que n'importe quel nombre, mais plus grand que 0...
Bien sûr, nous ne sommes plus dans le cadre de l'écriture décimale, mais tout de même :p
Le très connu Donald Knuth en a fait une petite histoire de cette théorie,
Vous pourrez la trouver ici.
L'idée c'est qu'il se base sur la représentation d'un nombre en tant que deux ensembles, gauche et droite. Il définit ensuite une relation d'ordre sur ces ensembles (je ne détaille pas Knuth l'a très bien fait) et on obtient au bout de quelques pages et une bonne compréhension des nombres surréels : $\omega$ représentant un nombre plus grand que tous les autres, et $\varepsilon$ l'inverse, i.e. : un nombre différent de 0 tout en étant plus petit que tout autre nombre.
Cette théorie est très intéressante tout en restant très abordable, il n'y a pas de grande théorie des ensembles mais juste une construction des nombres tout a fait édifiante.
Vous pourrez la trouver ici.
L'idée c'est qu'il se base sur la représentation d'un nombre en tant que deux ensembles, gauche et droite. Il définit ensuite une relation d'ordre sur ces ensembles (je ne détaille pas Knuth l'a très bien fait) et on obtient au bout de quelques pages et une bonne compréhension des nombres surréels : $\omega$ représentant un nombre plus grand que tous les autres, et $\varepsilon$ l'inverse, i.e. : un nombre différent de 0 tout en étant plus petit que tout autre nombre.
Cette théorie est très intéressante tout en restant très abordable, il n'y a pas de grande théorie des ensembles mais juste une construction des nombres tout a fait édifiante.
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