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Un cours qui peut donner des pistes : un cours + des T.D. . Le T.D.5 confirme l'utilisation de l'analyse complexe pour calculer la transformée de Fourrier que tu cherches.
J'avais déjà pensé à la formule des résidus, mais merci de cette suggestion. C'est sans doute la méthode la plus efficace ici. Il s'agissait d'un exercice qui avait été posé à des étudiants en licence qui n'avaient pas vu l'analyse complexe.
Il est aussi possible d'obtenir la transformation de Fourier en appliquant la formule d'inversion. Mais cela présuppose de connaitre le résultat ($x\mapsto\exp(-|x|)$ à normalisation près). Donc c'est moins naturel.
Voyez-vous d'autres possibilités ?