Je cherchais un exercice sympa sur le théorème des facteurs invariants et je me suis piégé. :(
Si $n_1,\dots,n_k$ sont des entiers naturels, alors le théorème des facteurs invariants prévoit un isomorphisme
$\prod_{i=1}^k\Z/n_i\Z\simeq \prod_{i=1}^k\Z/m_i\Z$
où $m_1$ est le pgcd des $n_i$, où $m_k$ est leur ppcm. Plus généralement, $m_i$ est le pgcd de ppcm($n_j,j\in I$) pour les parties $I$ à $i$ éléments de $\{1,\dots,k\}$.
Je cherche des matrices $P,Q\in SL_n(\Z)$ telles que
$Pdiag(n_1,\dots,n_k)Q=diag(m_1,\dots,m_k)$
Pour $k=2$, la relation de Bézout donne
$\alpha n+\beta m=d=pgcd(n,m)$.
On pose $n=de$ et $m=df$. Le ppcm de $n$ et de $m$ vaut $def$. On peut alors prendre
$P=\left[\begin{matrix} 1 & 1\\ -\beta f& \alpha e\end{matrix}\right]\qquad ; \qquad Q=\left[\begin{matrix} \alpha & -f\\ \beta & e\end{matrix}\right]$
Que faire pour $k>2$ ?