En m'amusant avec les nombres entiers de Gauss, je suis tombé sur une propriété qui est vraie pour tous les nombres testés jusqu'à au moins 10000 et qui semble pourtant trop simple pour être toujours vraie :
conjecture : $\forall p \in \N-\{0,1,2\} ,(1+2i)^p \equiv 1-2i [p] \Leftrightarrow p {\rm \; premier} \wedge \exists k \in \N ,p=4k+3$
$1+2i$, avec son conjugué, n'est pas spécifique dans la conjecture, qui marche aussi pour $1+3i$ avec son conjugué, mais c'est le plus simple que j'ai trouvé (la conjecture est facilement réfutable en prenant un entier, $4^{15} \equiv 4 [15]$, ou un imginaire pur et ne marche pas pour $1+i$.)
L'arithmétique modulaire reste à préciser : la division euclidienne existe avec les entiers de Gauss mais n'est pas unique pour un couple (dividende, diviseur) choisi (selon le couple, on peut avoir 2,3 ou 4 égalités possibles.) La conjecture enoncée fait l'hypothèse que le reste choisi est celui de norme (au sens des entiers de Gauss) minimale.
Par exemple, en admettant la conjecture, pour montrer que $p=3$ est un nombre premier
- 1) on cherche le représentant de $a+ib=1-2i$ dans $\Z i /3 \Z i$:
- a) dans $\Z$, $a=1=3q+r \Rightarrow (q,r) = (0,1)$
b) dans $\Z$, $b=-2=3 \tilde{q} + \tilde{r}\Rightarrow ( \tilde{q}, \tilde{r}) = (-1,1)$ (résultat de divMod et non pas celui de quotRem qui retourne (0,-2) en Haskell)
c) dans $\Z i/p \Z i$ avec $p$ entier (classique) positif comme c'est le cas ici, le reste minimum est donné par
$a+ib-p(q+i \tilde{q})$ si $-p=\min (-p,-2r,-2 \tilde{r},p-2(r+ \tilde{r}))$
$a+ib-p(q+1+i \tilde{q})$ si $-2r=\min (-p,-2r,-2 \tilde{r},p-2(r+ \tilde{r}))$
$a+ib-p(q+i \tilde{q}+i)$ si $-2 \tilde{r}=\min (-p,-2r,-2 \tilde{r},p-2(r+ \tilde{r}))$
$a+ib-p(q+1+i \tilde{q}+i)$ si $p-2(r+ \tilde{r})=\min (-p,-2r,-2 \tilde{r},p-2(r+ \tilde{r}))$
Donc ici comme $-3=\min(-3,-2,-2,-1)$, on a $1-2i \equiv 1-2i -3(0-i)\equiv 1+i [3]$
- a) $(q,r)=(-4,1)$
b) $( \tilde{q}, \tilde{r})=(-1,1)$
c) $-3=\min(-3,-2,-2,-1)\Rightarrow (1+2i)^3 \equiv -11-2i-3(-4-i)\equiv 1+i [3]$
- a) dans $\Z$, $a=1=3q+r \Rightarrow (q,r) = (0,1)$
Connaissez-vous un contre-exemple dans un sens ou dans l'autre ou bien des références sur le sujet ?
PS J'aurais aimé mettre des crochets autour du $i$ des $\Z i$ comme c'est l'usage pour les entiers de Gauss mais je me heurte à un problème de conversion en balise italique qui a le même code.