j'ai un exercice corrigé qui me confirme que je n'ai rien compris à Sylow. Merci, de votre aide.
Ennoncé
Décrivez les $3$-sous-groupes de Sylow de $S_5$. Quel est le nombre de $3$-sous-groupes de Sylow de $S_5$ ?
Le nombre de $3$-cycles est $20$. Pourquoi ? Parce qu'il y a $\ds\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{(5-3)}=\dfrac{120}{20}=60$ et comme $(1, 2, 3)=(2, 3, 1)=(3, 1, 2)$, il faut diviser ce résultat par $3$ soit $20$ $3$-sous-groupes ?Corrigé
$3^1$ est la plus grande puissance de $3$ divisant $5!=120$ (le cardinal de $S_5$). Un sous-groupe de cardinal $3$ est cyclique. Il contient $2$ éléments d'ordre $3$(chacun est un générateur). Le nombre de $3$-cycles est $20$. Le nombre de $3$-sous-groupe de Sylow est donc $10$.
Mais pourquoi $10$ $3$-Sylow ? Quelle relation lie ces 2 résultats ?
Je pensais qu'en appelant $n_3$ le nombre de $3$-Sylow, on avait $n_3$ divise $\dfrac{120}{3}=40$ et $n_3\equiv 1$ mod $3$, les solutions sont $4, 10 \text{ et } 40$. Je ne sais plus comment me débarrasser de $4$ et $40$.