Formule : Somme de zeta

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acid24

Formule : Somme de zeta

Message non lu par acid24 »

Bonjour a tous ,

je cherche des idée de demo pour la formule suivante :

$$1-\gamma=\ds\sum_{k \geq 2} \frac{\zeta(k)-1}{k}$$

avec , "bien sur"

$$\gamma=\ds \lim_{n\rightarrow \infty} \left [ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n)\right ]$$

et

$$k \geq 2, ~\zeta(k)=\ds\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^k}$$

j'ai bien une petite idée , mais cela ne tient pas dans la marge ...;) en fait j'utilise $ \ln(2)= \ldots$ je l'exposerai plus tard ...
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

A ta place, je posterai sur les-mathematiques.net et, à coup sûr, Borde ou l'un de ses accolytes va te répondre dans les minutes qui suivent (enfin peut-être compte tenu de l'heure tardive).
acid24

Message non lu par acid24 »

pourquoi pas :) en fait , cela me donne une idée , il pourrait y avoir une rubrique "formule" dans le forum , ou l'on posterai des belles formules avec les demos ou commentaires qui vont avec ...
MB
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Message non lu par MB »

On a aussi la formule :

$$ \gamma = \ds\sum_{k \geq 2} (-1)^k \frac{\zeta(k)}{k} $$

Je ne connais pas les preuves de ces formules mais il semblerait qu'on les trouve dans Havil (2003).
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Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

La formule de MB se démontre par la dérivée logarihtmique de la fonction $\Gamma$.
Je n'ai pas eu le temps de voir si il y avait un lien avec la question de acid24....
Arnaud
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Message non lu par guiguiche »

La formule se trouve .

[Edit : pourquoi n'y a-t-il pas le lien ?]
[Edit: MB] J'ai remplacé le lien par un lien qui fonctionne (en fait il devait y avoir des caractères spéciaux refusés - je crois que c'est le signe % - dans le bbcode url comme ça arrive aussi avec les liens wikipédia parfois).
[edit2 : je me doutais que c'était ce fichu %. merci MB]
[Edit2: MB] Pas sûr en fait ! c'était peut être plutôt les {} ...
Dernière modification par guiguiche le jeudi 09 novembre 2006, 10:14, modifié 1 fois.
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

La création d'une rubrique ``formules'' n'appelerait pas vraiment les gens qui pensent que ``DETOUTFASSONLEMATCEKEDEFORMULESNA'' (TM) à changer leur opinion étriquée.

Sinon pour la formule (le théorème?), as-tu essayé de comparer

$\ds\sum_{2\le k \le n} \frac{\zeta(k)}{k}$ et $\ds\sum_{2\le k \le n} \ln(k) - ln(k-1)$ ?

PS. Autre idée: que donne la formule d'Euler McLaurin pour $(\zeta(x) -1)/x$? --- pour la fonction $1/x - \ln(x) + \ln(x-1)$ on trouve $\gamma$, etc.
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

La formule d'acid24 porte le numéro 116 dans le lien précédent. Mais je ne sais pas si les formules qui précèdent la prouve.
acid24

Message non lu par acid24 »

bien sur les maths ce n'est pas que des formules :) .... en fait je trouve cela interressant et etonnant ces formules .. je montre le debut de l'idée de ma demo:
je cherchais des formules pour $\ln(2)$

$\ln(2)=-\ln(\frac{1}{2})=-\ln(1-\frac{1}{2})=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k2^k}$ mais aussi
$\ln(2)=-\ln(\frac{1}{2})=-\ln(\frac{2}{3}\frac{3}{4})=-=-\ln(\frac{2}{3})-\ln(\frac{3}{4})=-\ln(1-\frac{1}{3})-\ln(1-\frac{1}{4})=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k}(\frac{1}{3^k}+\frac{1}{4^k})$

de même , sauf erreur
$\ln(2)=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k}(\frac{1}{5^k}+\frac{1}{6^k}+\frac{1}{7^k}+\frac{1}{8^k}) $

ainsi de suite, puis je somme les lignes pour obtenir
$N\ln{2}=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k}(\sum_{i=2}^{2^N} \frac{1}{i^k}) $
puis ensuite le cas k=1 on reconnait la somme harmonique qui va faire apparaitre $\gamma$ en me debarrassant des $N\ln(2)$
mais j'ai un souci pour intervertir $\sum$ et limite $N \rightarrow \infty $

@guiguiche : oui la formule est sur le site de Wolfram , cela m'a permis de me rassurer et de me dire que mon "delire sommatoire" devait surement tenir debout

@la main gauche : je vais regarder Mac laurin , mais cela suppose de connaitre les derivées de Zeta , et c'est au dela du niveau auquel j'aimerai limiter la demo: BAC+2
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

On peut pudiquement cacher la formule d'Euler McLaurin derrière quelques IPP bien senties; j'en profite pour faire de la pub pour ma référence préférée conecernant cette formule, c'est le cours d'analyse de Godement (Tome II je crois me rappeler).
rebouxo
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Message non lu par rebouxo »

Puidiquement ?
Y a des choses coquines dans la fonction $\zeta$ ? :D
Doit-on interdir ce post au moins de 18 ?

Olivier
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

La dernière fois que j'ai exposé la formule d'Euler Mc Laurin, à des bacs +2 toutes les filles de la salle se sont déshabillées (véridique!) et ont jeté leur sous-vêtements en, l'air; la dernière fois que je leur ai parlé de $\zeta$ ellles se sont tous jetées sur moi ... je te laisse imaginer ce qui se passerait en combinant les deux, c'est assez risqué !
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Elle est où ta fac ? :D
Arnaud
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Mof

Message non lu par Mof »

la main gauche a écrit :La dernière fois que j'ai exposé la formule d'Euler Mc Laurin, à des bacs +2 toutes les filles de la salle se sont déshabillées (véridique!) et ont jeté leur sous-vêtements en, l'air; la dernière fois que je leur ai parlé de $\zeta$ ellles se sont tous jetées sur moi ... je te laisse imaginer ce qui se passerait en combinant les deux, c'est assez risqué !
difficile a croire de la part de quelqu'un qui s'appelle la main gauche ... :D
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Message non lu par rebouxo »

Ouarrrfffff. :D
Non, en fait, c'est le rire des Gaulois dans Astérix.

Olivier
acid24

Message non lu par acid24 »

pffff , ça me rapelle juste qu'en prepa, dès que le prof disait $\ln(2)=0,69....$ les 5/2 hurlaient "cuiiiiisse" pour detendre l'atmosphère ...

bon , je reviens à mon raisonnement , si tout le monde est d'accord avec le début :) :

$N\ln{2}=\ds\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k}(\sum_{i=2}^{2^N} \frac{1}{i^k}) $
en isolant pour k=1

$N\ln{2} -\ds\sum_{i=2}^{2^N} \frac{1}{i}= \sum_{k \geq 2} \frac{1}{k}(\sum_{i=2}^{2^N} \frac{1}{i^k})$
soit

$\ln{2^N} -\ds\sum_{i=1}^{2^N} \frac{1}{i} +1= \sum_{k \geq 2} \frac{1}{k}(\sum_{i=1}^{2^N} \frac{1}{i^k} -1)$
et la j'ai besoin d'intervertir limite et "sigma" , donc comment justifer ??
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

acid24 a écrit :pffff , ça me rapelle juste qu'en prepa, dès que le prof disait $\ln(2)=0,69....$ les 5/2 hurlaient "cuiiiiisse" pour detendre l'atmosphère ...
C'est exactement ce que à quoi je pense lorsque je prononce cette approximation (vieux reflexe de 5/2) mais aucun élève ne m'a jamais fait ce genre de remarque et souvent, je me contente de 0,7 comme approximation pour éviter tout malentendu.
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

Je rappelle que la proposition ``toutes les fois que Euler McLaurin bidule'' est vraie puisque je n'ai jamais exposé Euler McLaurin en deuxiéme année. Pas trop déçus j'espère ... ;)

Pour la main gauche, ça vient d'un groupe de musiciens.
acid24

Message non lu par acid24 »

:crazyeyes: dites , par contre , est-ce que quelqu'un pourrait juste jeter un petit coup d'oeil au maths qu'il ya dans ce post, juste pour me dire si ma démarche semble ok ou non, et comment passer à la limite $N \rightarrow \infty$ dans

$\ln{2^N} -\ds\sum_{i=1}^{2^N} \frac{1}{i} +1= \sum_{k \geq 2} \frac{1}{k}(\sum_{i=1}^{2^N} \frac{1}{i^k} -1)$

je sais que les calculs sont un peu lourds , mais bon c'est abordable étant donné les mathématiciens de haut vol (lèèèèche) qui trainent sur le forum ;)
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Message non lu par guiguiche »

J'ai de gros trous dans ma mémoire concernant les hypothèses pour permuter deux sommes ou une somme et une limite.
Comment as-tu permuté la somme finie $\sum_{n=1}^{N}$ avec la somme infinie $\sum_{k=1}^{+\infty}$ avant même la première ligne de ce que tu écris ?
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