quelques questions autour d'un exercice.
Merci de votre aide.
J'ai toujours du mal avec ce bien définie, ça veut dire que c'est bien une application à un élément, il ne peut y avoir qu'au plus une image ?Enoncé Soit $n$ et $m$ deux entiers tels que $m$ divise $n$.
a) Montrer qu'il existe un morphisme surjectif $f:\Z/n\Z\to\Z/m\Z$
Correction On pose $f(a+n\Z)=a+m\Z$.
Cette application est bien définie sur $\Z/n\Z$ car si $a$ et $b$ sont deux entiers congrus modulo $n$, alors ils sont aussi congru modulo $m$.
Cette application est évidemment un morphisme et est surjective
Elle est évidemment surjective, c'est lié à la cardinalité de $\Z/n\Z$ et $\Z/m\Z$ ?
J'ai du mal avec les groupes quotient, que représente $m\Z/n\Z$ ?Enoncé Quel est son noyau ?
Correction $a+n\Z\in\ker f\Longleftrightarrow a+n\Z=m\Z\Longleftrightarrow a\in m \Z$
Le noyau de $f$ est donc $m\Z/n\Z$
Alors là, ce que représentent $(\Z/n\Z)/(m\Z/m\Z)$ et $(m\Z/m\Z)$ ?EnoncéEn déduire qu'il y a un isomorphisme naturel $(\Z/n\Z)/(m\Z/m\Z)\simeq(\Z/m\Z)$
Correction D’après le th. de factorisation, on obtient un isomorphisme entre $(\Z/n\Z)/(m\Z/m\Z)$ et $(\Z/m\Z)$
Quand à l'application du théorème de factorisation, je ne vois pas le rapport avec un isomorphisme.
Théorème de factorisation
Soit $f:E\to F$ une application et $R_f$ la relation d'équivalence associée.
alors il existe une application injective unique :
$\tilde{f}:E/R_f\to E$, telle que $f=\tilde{f}\circ Cl$.
Si de plus $f$ est surjective, alors $\tilde{f}$ est une bijection.
Est celui-ci qu'il faut utiliser ?1er théorème d'isomorphisme : soit $f:G\to G'\Longrightarrow G/\ker f\simeq Im f$.
D'ailleurs est il un cas particulier du th. de factorisation lorsque $f$ est un morphisme ?
Je n'ai pas compris ce th. de factorisation, pouvez vous me donner des exemples simples ?