Bonjour,
j'ai toutes mes questions sur ce sujets bout à bout, en intégrant les réponses que vous m'avez données.
Soient $(X,d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques, et $f:X\to Y$ une fonction.
Montrer que sont équivalentes les propriétés suivantes :
1) l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert,
2) l'image réciproque d'un fermé est un fermé,
3) pour tout sous ensemble $A\subset X, f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}$.
4) $f$ est continue.
lemme : $f\Big(f^{-1}(B)\Big)\subset B$ et $A\subsetf^{-1}\Big(f(A)\Big)$
Supposons 1) et montrons 2). Soit $F$ un fermé de $(Y,\delta)$, montrons que $f^{-1}(F)$ est un fermé de $(X,d)$. En effet, $X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$ est image réciproque d'un ouvert de $Y$ donc ouvert de $X$ donc $f^{-1}(F)$ est fermé.
"En effet, $X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$" parce que $f^{-1}(A -B) = f^{-1}(A)- f^{-1}(B)$ et $f^{-1}(Y)=X$
"$X-f^{-1}(F)=f^{-1}(Y-F)$ est image réciproque d'un ouvert de $Y$", puisque $F$ est fermé. Cela veut dire $Y$ est l'espace tout entier, donc ouvert et fermé, mais $Y-F$ est ouvert. on considère alors $Y-F$ comme le complémentaire du fermé $F$ ?
"donc ouvert de $X$ donc $f^{-1}(F)$ est fermé." : parce qu'une partie de X est fermée si et seulement si son complémentaire est ouvert.
Supposons 2) et montrons 3). Soit $A\subset X$. L'ensemble $f^{-1}(\overline{f(A))}$ est un fermé de $X$ qui contient $A$. Il contient donc $\bar{A}$ et donc $f(\bar{A})\subset f(f^{-1}\overline{(f(A))}\subset \overline{f(A)}$
"L'ensemble $f^{-1}(\overline{f(A))}$ est un fermé de $X$ qui contient $A$." : $A\subset f^{-1}(f(A))$ d'aprés le lemme et $f(A)\subset \overline{f(A))}$, et comme $f(A) \subset\overline{\mathsf{f(A)}}$…
Pour la première partie c'est $\bar{A}\subset f^{-1}\overline{(f(A))$ donc $f(\bar{A})\subset f(f^{-1}\overline{(f(A))}$ ?
Mais pour la seconde $f(f^{-1}\overline{(f(A))}\subset \overline{f(A)}$, je ne comprends pas.
Supposons 1) et montrons 4).
Supposons $f$ continue en tout point de $X$ et considérons un ouvert $U$ de $(Y,\delta)$ et un point $x$ de $f^{-1}(U)$. L'ensemble $U$ est un ouvert qui contient $f(x)$, il existe par définition un réel strictement positif $\epsilon_0$ tel que $B(f(x),\epsilon_0)\subset U$. La fonction $f$ étant continue en $x$, il existe $\alpha>0$ tel que :
$$f(B(x,\alpha))\subset B(f(x),\epsilon_0).$$
Ainsi donc :
$$B(x,\alpha)\subset f^{-1}\left(f(B(x),\alpha)\right)\subset f^{-1}(B(f(x),\epsilon_0))\subset f^{-1}(U)$$
ce qui montre que $f^{-1}(U)$ est ouvert.
Réciproquement, supposons que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert, et montrons que $f$ est continue. Soit $x_0$ un point de $X$, et $\epsilon>0$. La boule $B(f(x_0),\epsilon)$ est un ouvert de $(Y,\delta)$. Par hypothèse, $f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))$ est un ouvert de $(X,d)$ contenant $x_0$. Donc il existe $\alpha>0$ tel que $B(x_0,\alpha)$ soit inclus dans $f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))$ et on a :
$$f(B(x_0),\alpha))\subset f\left(f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))\right)\subset B(f(x_0),\epsilon).$$
ce qui conclut la démonstration.
"L'ensemble $U$ est un ouvert qui contient $f(x)$" : pourquoi ?
"Ainsi donc : $B(x,\alpha)\subset f^{-1}\left(f(B(x)$" parceque $B(x,\alpha)$ est ouvert ?
"Réciproquement, ..., la boule $B(f(x_0),\epsilon)$ est un ouvert de $(Y,\delta)$" : c'est une hypothèse ?
"$f\left(f^{-1}(B(f(x_0),\epsilon))\right)\subset B(f(x_0),\epsilon)."$ : je ne comprends non plus cette deuxième relation, c'est une conséquence du lemme ?
lemme : Soit $f$ une application d'un ensemble $X$ dans un ensemble $Y$. soit $A$ une partie de $X$ et $B$ une partie de $Y$. On définit :
$$f^{-1}(B)=\{x\in X/f(x)\in B\}\text{ et }f(a)=\{y\in Y/\exists\alpha\in A/f(a)=y\}$$
alors, on a :
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$ et $f^{-1}(f(A))=\{x\in X/\exists\alpha\in A/f(x)=f(a)\}.$
En particulier, $f\Big(f^{-1}(B)\Big)\subset B$ et $A\subset f^{-1}\Big(f(A)\Big)$
démonstration : soit $y$ un élément de $B\cap f(X)$. Il existe un $x$ de $X$ tel que $y=f(X)$.
Par définition de l'image réciproque d'un ensemble, $x\in f^{-1}(B)$ et donc $y\in f(f^{-1}(B))$ et donc $B\cap f(X)\subset f(f^{-1}(B))$.
l’inclusion réciproque est évidente.
donc $f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$.
De plus, par définition de l'image réciproque, $x$ appartient à $f^{-1}(f(A))$, ssi il existe un élément $b$ de $f(A)$ tel que $f(x)=b$, c'est à dire qu'il existe un élément $a$ de $A$ tel que $f(x)=f(a)$. D'où le lemme.
"Il existe un $x$ de $X$ tel que $y=f(X)$." : plutôt Il existe un $x$ de $X$ tel que $y=f(x)$ ?
"et donc $B\cap f(X)\subset f(f^{-1}(B))$." : pourquoi, on pourrait dire l'inverse : et donc $ f(f^{-1}(B))\subset B\cap f(X)$.