Je vais essayer de comprendre un des chapitres qui m'est le moins clair malgré le temps que j'y ai passé.
Merci de votre aide.
Je ne comprends pas ce que veux dire ce théorème, ni quels sont les enjeux. De quoi on part, où on arrive.Soit $E$ un espace de Banach ; l'ensemble des éléments de $\mathcal{L}(E)$ qui sont à distance strictement inférieure à $1$ de $Id$ sont inversibles dans $\mathcal{L}(E)$. Dit autrement,
$$\forall l\in B_{\mathcal{L}(E)}(Id,1), \exists! l^{-1}\in\mathcal{L}(E),l\circ l^{-1}=l^{-1}\circ l=\Id.$$
Démonstration
Posons :
$$ S_N=\ds\sum^N_{n=0}(-1)^n(l-Id)^n.$$
D'après la proposition ci-dessous, la suite $(S_N)_{N\in\N}$ converge vers un élément $l^{-1}$ de $\mathcal{L}(E)$ dès que $\Vert l-Id\Vert_{\mathcal{L}(E)}<1$. Par ailleurs, on a :
$S_Nl=S_N(Id+l-Id)$
$=Id-(-1)^{N+1}(l-Id)^{N+1}$
$=lS_N.$
En passant à la limite dans l'égalité ci-dessus, on conclut la démonstration du théorème.
Une question idiote pour commencer : "La série $(||x_n||)_{n\in\N}$ est convergence", ça veut bien dire "$\ds\sum^N_{n=0}||x_n||_E<\infty$" ?Proposition :Soit $E$ un espace de Banach et $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $E$. Alors, si la série $(\Vert x_n\Vert_E)_{n\in\N}$ est convergente, alors la suite :
$$S_N=\ds\sum^N_{n=0}x_n \text{ est convergente.}$$
D'ailleurs avec le théorème suivant, n'énonce t-il pas la propriété dans l'autre sens : 'La série $(||x_n||)_{n\in\N}$ est convergence dans un espace de Banach si et seulement si $S_N)\ds\sum^N_{n=0}x_n$ est convergente dans un espace normé $E$ ?
Un autre énoncé et une autre démonstration du premier théorème :Si $E$ est un espace normé tel que pour toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ on ait :
$$\ds\sum_{n\in\N}\Vert x_n\Vert_E<\infty \Longrightarrow S_N\stackrel{déf}{=}\ds\sum^N_{n=0}x_n\text{ converge},$$
alors l'espace $E$ est de Banach.
$u^n=u\circ u\circ u$, $n$ fois ?Soit $E$ un espace de Banach et $u\in\mathcal{L}(E)$.
si $||u||<1$, la série $\ds\sum u^n$ est absolument convergente.
De plus, l'endomorphisme $Id-u$ est inversible avec :
$(Id-u)^{-1}=\ds\sum^\infty_{n=0}u^n$.
Démonstration :
La série géométrique réelle $\ds\sum_{n\geq0}||u||^n$ converge et $||u^n||\leq||u^n||$, pour tout entier $n\geq1$ ; d'où $\ds\sum_{n\geq0}||u^n||<\infty$.
Pour tout entier $n\geq1$, les sommes partielles $s_n=Id+\ds\sum^n_{k=1}u^k$ vérifient $s_n\circ u=u\circ s_n=\ds\sum^n_{k=0}u^{k+1}$.
Ce qui entraine : $s_n\circ(Id-u)=(Id-u)\circ s_n=Id-u^{n+1}$
Et l'on prend la limite dans $\mathcal{L}(E)$, pour $n\to\infty$.
Puisque $\ds\lim_{n\to\infty}u_n=0$ et $\ds\lim_{n\to\infty}s_n=\ds\sum^\infty_{k=0}u^k$, on obtient $\Big(\ds\sum^\infty_{k=0}u^k\Big)\circ\Big(Id-u\Big)=(Id-u)\circ \Big(\ds\sum^\infty_{k=0}u^k\Big)=Id$.
$||u||=\ds\sup_{||x||\leq1}||u(x)||$ ?
Je ne comprends pas cette inégalité : les sommes partielles $s_n=Id+\ds\sum^n_{k=1}u^k$ vérifient $s_n\circ u=u\circ s_n=\ds\sum^n_{k=0}u^{k+1}$