Quelques difficultés à comprendre le $a+\vect{h}$ même si c'est ce que j'ai vu l'année dernière en géométrie affine puisque ici on va parler de la norme de l'image d'un point ($a$ ou $a+\vect{h}$) sans vaiment savoir de quoi il s'agit même si bien sûr, dans les exercices, on est presque toujours dans $\R$ ou $\R^N$.définition : Soit $f$ une fonction d'un intervalle ouvert $\Omega$ dans $E$ à valeurs dans $F$ et $a$ un point de $\Omega$. On dit que la fonction $f$ est différentiable au point $a$ si et seulement si, il existe une application linéaire $L$ continue de $E$ dans $F$ telle que, pour tout réel strictement positifs $\varepsilon$, il existe un réel strictement positif $\alpha$ tel que la boule ouverte $B(a,\alpha)$ de centre $a$, et de rayon $\alpha$ soit incluse dans $\Omega$ et tel que :
$$\forall\vect{h}\in B(0,\alpha),\Vert f(a+\vect{h})-f(a)-L\cdot\vect{h}\Vert_F<\varepsilon\Vert\vect{h}\Vert_E$$
Si une fonction est différentiable en tout point d'un ouvert $\Omega$, elle est dite "différentiable sur $\Omega$".
Même chose pour $L\cdot\vect{h}$ c'est un élément de $F$ mais est ce un produit scalaire ?
Ca ne s'arrange pas avec les exemples.
Pour la rédaction, je suis perdu :Exemple : soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(\vect{e_j})_{1\leq j\leq N}$.
On considère comme norme :
$$N(x)\stackrel{déf}{=}\Big(\ds\sum^N_{j=1}x_j^2\Big)^{1/2}\text{ avec }x=\ds\sum^N_{j=1}x_j\vect{e_j}$$
La fonction $f(x)\stackrel{déf}{=}N^2(x)$ est différentiable sur $E$ et l'on a, pour tout point $a$ de $E$,
$$df(a)\cdot\vect{h}=2(a|\vect{h})\text{ avec }$(x|y)\stackrel{déf}{=}\ds\sum^N_{j=1}x_jy_j$$
En effet, on a :
$$N^2(a+\vect{h})=N^2(a)+2(a|\vect{h})+N^2(\vect{h}).$$
$\Vert\ds\sum(xj-\vect{h_j})^2-\ds\sumx_j^2\Vert_F$
$\vert-2\ds\sumx_j\vect{h_j}+\ds\sum \vect{h_j}^2\Vert_F$
$2\Vert \ds\sum x_j\vect{h_j}\Vert_F$
Ce qui donne en $a$ : $2\Vert\ds\sum a_j\vect{h_j}\Vert_F=2(a|\vect{h})$
Mais en plus le $2(a|\vect{h})$, produit scalaire d'un point et d'un vecteur me dépasse même si dans les deux cas, on bien des coordonnées.
théorème ; Soient $f$ une application d'un ouvert $\Omega$ d'un espace normé $E$ dans un ouvert $\Omega'$ d'un espace normé $F$ et $g$ une application de $\Omega'$ dans un espace normé $G$ et $a$ un point de $\Omega$. Si $f$ est différentiable au point $a$ et si $g$ est différentiable au point $f(a)$, alors l'application $g\circ f$ est différentiable au point $a$ et l'on a :
$$D(g\circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a)$$
Je ne comprends à quoi correspondent $\delta^{(1)}$ et $\delta^{(2)}$, ni comment on arrive à (1).Posons :
$$\Delta_a(\vec{h})\stackrel{déf}{=}g(f(a+\vec{h}))-g(f(a))-Dg(f(a))\cdot(Df(a)\cdot\vec{h})$$
Ecrivons alors que : $\Delta_a(\vec{h})=\Delta_a^{(1)}(\vec{h})+\Delta_a^{(2)}(\vec{h})$ avec :
$$
\Delta_a^{(1)}(\vec{h})&\stackrel{déf}{=}g(f(a+\vec{h}))-g(f(a))-Dg(f(a))(f(a+\vec{h})-f(a))\text{ et }$$
$$\Delta_a^{(2)}(\vec{h})&\stackrel{déf}{=}Dg(f(a))(f(a+\vec{h})-f(a)-Df(a)\cdot\vec{h}).
$$
Soit $\epsilon$ un réel positif quelconque. il existe un réel $\alpha_0$ strictement positif tel que :
$$\Vert\vec{h}\Vert_E<\alpha_0\Longrightarrow$$
$$\Vert f(a+\vec{h})-f(a)-Df(a)\cdot\vec{h}\Vert_F<\dfrac{\epsilon\Vert\vec{h\Vert_E}}{2\Vert Dg(f(a))\Vert_{\mathcal{L}(E)}}(1)$$
Par définition de $\Delta_a^{(2)}$, on a :
$$\Vert{\vec{h}}\Vert_E<\alpha_0\Longrightarrow\Vert\Delta_a^{(2)}(\vec{h})\Vert_G<\dfrac{\epsilon}{2}\Vert\vec{h}\Vert_E.(2) $$
La fonction $g$ étant différentiable en $f(a)$. Il existe un réel strictement positif $\beta$ tel que :
$$\Vert\vec{k}\Vert_F<\beta\Longrightarrow$$
$$\Vert g(f(a)+\vec{k})-g(f(a))-Dg(f(a))\cdot\vec{k}\Vert_G<\dfrac{\epsilon\Vert \vec{k}\Vert_F}{2\Vert D(f(a)\Vert_{\mathcal{L}(E)}+2}.$$
La fonction $f$ étant différentiable, il existe un réel strictement positif $\alpha_1$ tel que :
$$\Vert\vec{h}\Vert_E<\alpha_1\Longrightarrow\Vert f(a+\vec{h})-f(a)\Vert_F<(\Vert Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E)}+1)\Vert\vec{h}\Vert_E.$$
On en déduit alors de (2) que :
$$\Vert\vec{h}\Vert_E<\min\lbrace\alpha_0,\alpha_1,\dfrac{\beta}{\Vert Df(a)\Vert_{\mathcal{L}(E)}+1}\rbrace\Longrightarrow \Vert\Delta_a(\vec{h})\Vert_G<\epsilon\Vert\vec{h}\Vert_E.$$
D'où le théorème.
Pour le (1), on utilise le fait que $f$ soit différentiable mais que devient le $+2$ du dénominateur.
Merci de m'aider à comprendre précisément quels objets je manipule.