$(H_1+X_1)(H_2+X_2)(H_3+X_3)-X_1X_2X_3=$ $H_1X_2X_3+H_1H_2X_3+H_1X_2H_3+H_1H_2H_3$ $+X_1X_2X_3+X_1H_2X_3+X_1X_2H_3+X_1H_2H_3-X_1X_2X_3$Cela étant, pour vous convaincre que les H₁, … , Hₖ sont placés là où étaient initialement X₁, … , Xₖ respectivement, et non à la fin, il suffit d'écrire le début du développement du produit (X₁ + H₁)···(Xₖ + Hₖ), en ne conservant que la partie linéaire (le faire pour k = 3 suffit pour comprendre comment tout ça se passe).
B.A.
Et $D(X_1X_2X_3)(H_1H_2H_3)=H_1X_2X_3+X_1H_2X_3+X_1X_2H_3$
C'est un peu la question que me pose Tonn après la démonstration détaillée qu'il m'a faite pour $k=2$. A part qu'il me demande en plus de justifier.
J'ai essayé avec $k=4$ pour voir ce que cela donnait.
$(f\circ g)^4=$ $f^4+f^3g+f^2g^2+f^2gf+fg^3+fg^2f+$ $fgf^2+fgfg+gf^3+gf^2g+gfgf+gfg^2+g^2f^2+g^2fg+g^3f+g^4$
Je pense qu'il doit y avoir une justification qui permet de jeter tous les termes avec du $g^2$ ou plus dans un $o(g)$ (car $\Vert g\Vert\to0$) pour conclure que $D_f\Phi_4=f^3g+f^2gf+fgf^2+gf^3$. Comme justification, n'y a t-il que la récurrence ?
Tonn83 a écrit :$F_k$ désigne l'application $F_k:\mathcal{L}(E)\to\mathcal{L}(E)$ donnée par $F_k(f)=f^k$. Je vais vous expliquer comment procéder pour $k=2$. Par simple développement, pour toute application linéaire $f,g:E\to E$,
$(f+g)\circ (f+g)=f\circ f+f\circ g+g\circ f+g\circ g\, .$
Si $f$ et $g$ sont continues, par sous-multiplicativité de la norme d'opérateur,$\|(f+g)\circ (f+g)-f\circ f-f\circ g-g\circ f\|=\|g\circ g\|\leq \|g\|^2$Par le théorème des gendarmes de Saint Tropez, ce calcul prouve que$\displaystyle\lim_{\|g\|\to 0} \frac{\displaystyle\|\Phi_2(f+g)-\left(\Phi_2(f)+f\circ g+g\circ f\right)\|}{\displaystyle \|g\|}=0$Or, l'application $g\mapsto f\circ g+g\circ f$ est linéaire puisque $f$ est linéaire ! La définition même de la différentielle donne que $\Phi_2$ est différentiable en $f$ et$D_f\Phi_2:g\mapsto f\circ g+g\circ f$.Comprenez vous cet argument ? Pouvez vous le généraliser à $k\geq 2$ ?