Il doit y avoir un lien avec mon message précédent, ce qui montre que je n'ai pas tout compris. La définition me donne le doute. Comme la différentielle est une application linéaire continue, alors la différentielle de la différentielle de $f$, c'est toujours la différentielle de $f$.
Je ne comprends pas de quelle difficulté il est question, celle que je viens d'avoir ?
Pour le lemme, je ne comprends pas ce qu'il dit.
Merci de votre aide.
définition :
On dit que la fonction $f$ est deux fois différentiable en un point $a$ de l'ouvert $\Omega$ si elle est différentiable sur $\Omega$ et ssi la fonction $Df$ définie par :
$$D_f\begin{cases} \Omega\to \mathcal{L}(E;F)\\ x\mapsto Df(x) \end{cases}$$
est différentiable en $a$.
Derrière la simplicité de cette défintion se cache une petite difficulté. La différentielle de $Df$ en $a$ est une application linéaire de $E$ dans l'espace $\mathcal{L}(E;F)$ des applications lin"aires continues de $E$ dans $F$. Comme nous le verrons dans la section 7.5, il est utile de voir la différentielle seconde $D(Df)(a)$ comme une application bilinéaire? Ceci est possible grâce au lemme suivant.
lemme :
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels, on considère l'espace vectoriel $B_2(E;F)$ des applications bilinéaires continues de $E\times E$ dans $F$ et l'application $I$ définie par :
$$I\begin{cases} \mathcal{L}(E;\mathcal{L}(E;F))\to B_2(E;F)\\A\mapsto I(A)\text{ définie par }I(A)(\vv{h},\vv{k})\stackrel{déf}{=}A(\vv{h})(\vv{k}). \end{cases}$$
L'application linéaire $I$ est une bijection isométrique.