Je ne comprends pas un morceau de la démonstration suivante.
Je ne comprends notamment pas :Le groupe alterné $A_5$ est simple.
Le groupe alterné $A_5$ contient $60$ éléments que l'on énumère.
Soit $H$ un sous-groupe propre de $A_5$.
Tout les cycles de longueurs $3$ forment une seule classe de conjugaison dans $A_5$.
Soit, en effet $\sigma_1=(a_1 a_2 a_3)$ et $\sigma_2=(b_1 b_2 b_3)$ deux cycles de longueur $3$.
Soit $\tau=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}$.
On a $\tau\sigma_1\tau^{-1}=\sigma_2$.
Si $\tau\notin A_5$, soit $a_4,a_5$ deux éléments n'appartenant pas à $\{a_1,a_2,a_3\}$ et $\rho=(a_4,a_5)$.
Soit $\tau'=\tau\rho$.
Alors $\tau'\in A_5$ et $\tau'\sigma_1\tau'^{-1}=\sigma_2$.
par conséquent, si $H$ contient un cycle de longueur $3$, alors $H=A_5$ ce qui est exclus...
le choix de $\tau$ "Soit $\tau=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}$" et cette partie :
"Si $\tau\notin A_5$, soit $a_4,a_5$ deux éléments n'appartenant pas à $\{a_1,a_2,a_3\}$ et $\rho=(a_4,a_5)$.
Soit $\tau'=\tau\rho$."
Alors $\tau'\in A_5$ et $\tau'\sigma_1\tau'^{-1}=\sigma_2$.