j'ai besoin de votre aide SVP
je veux montrer que $f$ est bijective en utilisant le théorème dite de la bijection(corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) :$f$ la fonction définie par:
$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$ de $[-1;1]$ vers $[-1;1]$
Dans notre cas $f$ est continue sur $[-1;1]$si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ alors : $f$ est bijective de $[a;b]$ vers $[f(a),f(b)]$ (ou bien $[f(b),f(a)]$ si $f$ est décroissante)
Et pour la monotonie j'ai calculée la dérivé de $f$ : $f'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$
On a $1-x^2\geqslant0$ sur $[-1,1]$ donc $f'(x)\geqslant0$
et par conséquent $f$ est croissante sur $[-1;1]$ et non pas strictement croissante
Est ce que le théorème est toujours applicable même si la monotonie n'est pas stricte ?
Merci d'avance