Groupe alterné $A_5$

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paspythagore
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Groupe alterné $A_5$

Message par paspythagore »

bonjour.
Je ne comprends pas un morceau de la démonstration suivante.
Le groupe alterné $A_5$ est simple.
Le groupe alterné $A_5$ contient $60$ éléments que l'on énumère.
Soit $H$ un sous-groupe propre de $A_5$.
Tout les cycles de longueurs $3$ forment une seule classe de conjugaison dans $A_5$.
Soit, en effet $\sigma_1=(a_1 a_2 a_3)$ et $\sigma_2=(b_1 b_2 b_3)$ deux cycles de longueur $3$.
Soit $\tau=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}$.
On a $\tau\sigma_1\tau^{-1}=\sigma_2$.
Si $\tau\notin A_5$, soit $a_4,a_5$ deux éléments n'appartenant pas à $\{a_1,a_2,a_3\}$ et $\rho=(a_4,a_5)$.
Soit $\tau'=\tau\rho$.
Alors $\tau'\in A_5$ et $\tau'\sigma_1\tau'^{-1}=\sigma_2$.
par conséquent, si $H$ contient un cycle de longueur $3$, alors $H=A_5$ ce qui est exclus...
Je ne comprends notamment pas :
le choix de $\tau$ "Soit $\tau=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}$" et cette partie :
"Si $\tau\notin A_5$, soit $a_4,a_5$ deux éléments n'appartenant pas à $\{a_1,a_2,a_3\}$ et $\rho=(a_4,a_5)$.
Soit $\tau'=\tau\rho$."
Alors $\tau'\in A_5$ et $\tau'\sigma_1\tau'^{-1}=\sigma_2$.

balf
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Re: groupe alterné A_5

Message par balf »

Le choix de τ explicite comment les deux cycles de longueur 3, σ₁ et σ₂, sont conjugués (il y a bien sûr d'autres façons, comme le montre la suite). Mais cela prouve seulement qu'ils sont conjugués dans S₅., et il s'agit de montrer qu'ils sont conjugués dans A₅. D'où la discussion : si τ est une permutation paire, c'est parfait ; sinon, on en fabrique une autre qui a le même effet, mais qui est paire.

B.A.

paspythagore
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Re: groupe alterné A_5

Message par paspythagore »

Oui merci.
En fait ce que je ne comprends, c'est que dans $A_5$, on n'a que 5 éléments pour former les bi-tranpositions, les $3$-cycles et les $5$-cycles : $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$.
On prend $b_1,b_2,b_3$ pour dire que l'on considère n'importe quel élément de $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ ?
Je comprendrai mieux si on considère n'importe quel élément de $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ que l'on appelle $\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$ et :

$\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\\a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\\b_2&b_3&b_1&b_4&b_5\end{pmatrix}$
$=(b_1b_2b_3)$

Pourquoi la démonstration ne s'arrête t-elle pas là ?
Alors $\tau'\in A_5$ et $\tau'\sigma_1\tau'^{-1}=\sigma_2$.
par conséquent, si $H$ contient un cycle de longueur $3$, alors $H=A_5$ ce qui est exclus
Je ne comprends pas pourquoi il faut aussi s'occuper des éléments d'ordre 2 et 5, si $H=A_5$, $A_5$ est simple ?

balf
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Re: groupe alterné A_5

Message par balf »

paspythagore a écrit :Oui merci.
En fait ce que je ne comprends, c'est que dans $A_5$, on n'a que 5 éléments pour former les bi-tranpositions, les $3$-cycles et les $5$-cycles : $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$.
Je ne comprends pas : c'est quoi, ces 5 éléments ?
On prend $b_1,b_2,b_3$ pour dire que l'on considère n'importe quel élément de $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ ?
Oui : on prend deux 3-cycles, qui peuvent avoir des éléments communs (au moins un)
Je comprendrai mieux si on considère n'importe quel élément de $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ que l'on appelle $\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$ et :

$\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\\a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\\b_2&b_3&b_1&b_4&b_5\end{pmatrix}$
$=(b_1b_2b_3)$

Pourquoi la démonstration ne s'arrête t-elle pas là ?
Parce que c'est faux : vérifiez dans le détail. Par exemple, l'image de b₁ : cet élément s'envoie d'abord sur a₁, puis a₁ sur b₁, et enfin b₁ sur… sur… ? Vous ne pouvez pas le savoir, puisque la dernière permutation envoie des aₖ sur des bₖ, non l'inverse.
Alors $\tau'\in A_5$ et $\tau'\sigma_1\tau'^{-1}=\sigma_2$.
par conséquent, si $H$ contient un cycle de longueur $3$, alors $H=A_5$ ce qui est exclu
Je ne comprends pas pourquoi il faut aussi s'occuper des éléments d'ordre 2 et 5, si $H=A_5$, $A_5$ est simple ?[/quote]
Le but est de montrer que les seuls sous-groupes distingués de A₅ sont le sous-groupe réduit à l'élément neutre et A₅ lui-même. Tout ce qui a été montré c'est qu'un sous-groupe propre de A₅ ne peut contenir de 3-cycle.

B.A.

paspythagore
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Re: groupe alterné A_5

Message par paspythagore »

Merci.
Je ne comprends pas : c'est quoi, ces 5 éléments ?
Les 5 éléments desquels on tire nos permutations qui sont les éléments de $S_5$ et les permutations paires qui sont ceux de $A_5$ ?

Pour le reste, je pense avoir compris. Je m'excuse pour le calcul.