paspythagore a écrit :Bonjour.
Je n'arrive pas à comprendre cet exercice qui propose une application du théorème.
Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe distingué de $G$.
Si $K$ est un sous-groupe de $G$, quel est le noyau de l'application $K\to KH/H$.
En déduire que : $$K/(K\cap H)\simeq KH/H$$
Le corrigé commence par montrer que $KH$ est un sous-groupe de $G$. La démonstration est simple mais je ne savais qu'il fallait la faire.
Ça, ça dépend du niveau auquel on se place. En première année, ça ne fait pas partie des résultats de base. En master, si. Dans tous les cas, il faut faire allusion au résultat, à mon sens.
...Comme $H$ est distingué dans $G$, a fortiori, il est distingué dans $KH$
Puisque $HK$ est un sous-groupe de $G$ contenant $H$ ?
Oui.
L'application $f$ définie par $f(k)=kH$ est alors un homomorphisme de groupe de $K$ dans $KH/H$.
Je ne saurai pas trouver ce morphisme qui paraît naturel et je ne comprends pas pourquoi dans $KH/H$ et pas dans $KH$.
Il s'agit seulement d'associer à k sa classe modulo H. Ça ne va pas dans H parce que kH n'est pas un élément de KH, mais une
partie de KH. En revanche, c'est bien un élément de KH/H.
Soit $k\in K$. Alors $f(k)=e_{KH/H}\Longleftrightarrow kH=H\Longleftrightarrow k\in H\cap K$.
Pourquoi $H$ est l'élément neutre de $KH/H$ ?
Oui. Dans tout groupe-quotient, l'élément neutre est le sous-groupe distingué par lequel on quotiente.
Le noyau de $f$ est donc $H\cap K$ et le théorème de factorisation nous fournit donc un isomorphisme :
$$\tilde{f}=K/(K\cap H)\to KH/H.$$
Je n'arrive pas à déduire du théorème de factorisation le dernier résultat.
Le noyau étant K ∩ H, on déduit de f l'application de K/K ∩ H dans KH/H, définie par
k(H ∩ K) (classe de K dans K/K ∩ H) |—> f(k) = k H (classe de K dans KH /H aussi bien que dans G/H)
B.A.