[Licence] Question de cours (?) en topologie

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Fabcat

[Licence] Question de cours (?) en topologie

Message non lu par Fabcat »

Dites donc, j'éssayais péniblement d'aider un forumeur sur un exo de topo, (ceci dit en passant, du coup j'en dors plus :lol:) et je me demandais si, comme ça, dans un espace vectoriel de dimension finie, partie précompacte et partie bornée, ce ne serait pas équivalent ?
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

$\overline{\R}$ est compact et c'est le complété de $\R$, donc j'ai envie de dire que $\R$ est précompact...

A confirmer, car la nuance entre droite achevée et complété n'est pas tout à fait simple.
kilébo
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Message non lu par kilébo »

Une partie non bornée n'est évidemment pas précompacte.
Une partie bornée d'un e.v.n. de dim. finie est précompacte : il suffit de considérer la norme infinie et de prendre un maillage suffisamment petit.
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Précompact signifie que le complété est compact.

$\overline{\R}$ n'est-il pas le complété de $\R$ ?
Arnaud
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MB
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Message non lu par MB »

Arnaud a écrit :Précompact signifie que le complété est compact.
Elle vient d'où cette définition ?

En général, un espace métrique est dit précompact si pour tout $\epsilon >0$, il existe un recouvrement fini en ensembles de diamètres $\epsilon$.

Un ensemble précompact est borné.

On a le théorème suivant :

Un espace métrique est compact si et seulement si il précompact et complet.
Dernière modification par MB le samedi 18 novembre 2006, 13:10, modifié 1 fois.
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Message non lu par kilébo »

MB a écrit :Un espace métrique est compact si et seulement si il précompact et borné.
Petit lapsus, il faut lire :
Un espace métrique est compact si et seulement si il précompact et complet.

Sinon, effectivement, la définition d'Arnaud est incorrecte.
MB
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Message non lu par MB »

kilébo a écrit :
MB a écrit :Un espace métrique est compact si et seulement si il précompact et borné.
Petit lapsus, il faut lire :
Un espace métrique est compact si et seulement si il précompact et complet.
Oui, merci kilébo ! :wink:
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Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

C'est la définition donnée dans le livre de topologie bleu Christol - Cot - Marle aux éditions Ellipses.

Je ne crois pas que cette définition soit incorrecte, mais sûrement l'interprétation que j'en fais avec $\overline{\R}$.
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

$\R$ est complet donc mon exemple est absurde.

$\overline{\R}$ est une autre complétude de $\R$, apparemement pour résoudre des problèmes d'ordre....mais je n'ai pas tout compris.

La définition que je donne est correcte et équivalente au recouvrement fini avec des boules de tout rayon, c'est démontré.
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Message non lu par kilébo »

Arnaud, $\overline\R$ n'est pas le complété de $\R$ mais le compactifié (et encore ce n'est pas tout à fait vrai car $\overline\R$ a deux points à l'infini alors que le compactifié n'en aura qu'1 me semble-t-il).
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

kilebo, je sais bien que c'est le compactifié d'Alexandroff ( j'espère que c'est bien écrit ), mais on peut aussi le voir d'une autre manière.

Un petit peu de lecture :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_complet

[Edit : je précise que c'est ma confusion du mot complet qui a mené à ça...]
Dernière modification par Arnaud le samedi 18 novembre 2006, 15:35, modifié 1 fois.
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Message non lu par kilébo »

Je n'arrive pas à comprendre ton point de vue. Le complété de $\R$ est $\R$, non ?

Mais apparemment nous ne partons pas de la même définition. Peut-être est-ce la raison de notre incompréhension.

Qu'entends-tu par $\overline\R$ est une autre complétude de $\R$ ?
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Regarde le dernier paragraphe du lien : d'où ma confusion ( j'ai édité ).
Arnaud
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Message non lu par kilébo »

Effectivement, je comprends mieux pourquoi nous parlions pas de la même chose ;-) J'aime mieux le terme achevé aussi.
MB
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Message non lu par MB »

kilébo a écrit :Une partie bornée d'un e.v.n. de dim. finie est précompacte : il suffit de considérer la norme infinie et de prendre un maillage suffisamment petit.
Tu utilises que les normes sont équivalentes ?
Et si la métrique ne correspond pas à une norme on peut toujours faire ça ?
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Message non lu par Arnaud »

C'est de ma faute, j'aurais dû mettre le lien de suite.
Il est bon de connaitre l'origine du mot achevé, c'est instructif.

Si qq1 comprend la nuance, je suis preneur.
Arnaud
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Message non lu par kilébo »

La nuance entre achevé et complet ?
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

La nuance entre les deux types de complétude dont il parle ( complétude classique et complétude pour un ensemble ordonné ).
Arnaud
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