En attendant de digérer l'algèbre, je cherche de l'aide sur les points critiques.
Merci de corriger ce qui est faux et de me donner une piste pour continuer.
$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^y+ye^x>0$ si $y\geq0$ et de même pour l'autre dérivée partielle si $x\geq0$.Soit : $f:\R^2\to\R$ définie par $f(x,y)=xe^y+ye^x$.
Montrer que $f$ n'a pas d'extremum local en un point $(x,y)$ tel que $x$ ou $y$ soit positif ou nul.
Donc $Df(x,y)\neq0$ si $x$ ou $y$ est positif ou nul, donc il n'y a pas de point critique dans ce cas.
On a $x_0=y_0$ et donc $Df(x_0,x_0)=0$ se réduit à $e^{x_0}+x_0e^{x_0}=0$ soit $e^{x_0}(1+x_0)=0$, donc $x_0=-1$ est une solution et $(-1,-1)$ est un point critique.Trouver un point $(x_0,y_0)$ de $\R^2$, dont les deux coordonnées sont égales, et tel que $Df(x_0,y_0)=0$.
En $-1$ : $e^x=1+e^{-1}(x+1)+e^{-1}\dfrac{(x+1)^2}{2!}+o\Big((x+1)^n\Big)$Calculer le développement limité à l'ordre 2 de $f$ en ce point.
Ce qui donne en $(-1,-1)$ :
$f(x,y)=y+ye^{-1}(x+1)+ye^{-1}\dfrac{(x+1)^2}{2!}+yo\Big((x+1)^n\Big)+$ $x+xe^{-1}(y+1)+xe^{-1}\dfrac{(y+1)^2}{2!}+xo\Big((y+1)^n\Big)$
A partir de là, et sous réserve que je ne me sois pas trop trompé avant, je ne sais plus.En déduire un développement limité de $f(x_0+h,y_0+h)$, et un développement limité de $f(x_0+h,y_0-h)$