Je vais réessayer de comprendre ces notions de boules ouvertes et fermées à travers cet exercice dont je n'ai pas la solution.
Comme on est espace fini de $\R^N$, il faut montrer que $K_n$ est fermé, borné ou est ce que dans $\R^N$ fermé suffit ?On note resp. $B(a,r)$ et $B_f(a,r)$ les boules ouvertes et fermées de centre $a$ et de rayon $r$. Soient $k$ et $N$ deux entiers strictement positifs, on considère $k$ points distincts $a_1,\cdots, a_k$ de $\R^N$. On définit, pour tout entier positif $n$, l'ensemble :
$$K_n=B_f(0,n+1)\setminus \ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big).$$
Démontrer que, pour tout entier $n$ l'ensemble $K_n$ est une partie compacte de $\R^N$.
$B_f(0,n+1)$ est fermé et $\ds\bigcup_{j=1}^kB\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$ est ouvert, donc $K_n$ est fermé.
Il me semble assez bien voir "l'image". Si on fait croître suffisamment le rayon de $B(0,n)$ et diminuer celui de $B_f\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$, $B(0,n)$ va contenir $a_j$ et la boule $B_f\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$.Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que :
$$\forall n\geq n_0,\forall j\in\{1,\cdots,k\},B_f\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)\subset B(0,n).$$
Dire que la boule $B(0,n)$ tend vers $\R^N$ et $B_f\Big(a_j,\dfrac{1}{n+1}\Big)$ tend vers $a_j$ me semble incorrect, même si c'est peut être l'idée.
Je ne sais pas comment faire.