J'essaie de démontrer la proposition suivante avec des indications fournies dans un cours.
Démonstration du sens direct :Une partie $F$ de $X$ est fermée ssi pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui est supposée convergente, la limite $l$ appartient à $F$.
Soit $F$ un ensemble fermé.
et $(x_n)$ une suite d'éléments qui converge vers $l\in X$ : $\ds\lim_{n\to\infty}=l$
On raisonne par l'absurde en supposant que $l\in X\setminus F$
$F$ est le complémentaire de l'ouvert $X\setminus F$.
On a alors $l\in B_o(x_0,r)$ avec $d(x_0,l)< r$ et $\exists B_o(l,r_1)\subset B_o(x_0,r)$
Je ne sais pas si ce que j'ai écrit est correct mais je n'arrive pas à conclure.
Il me faut appliquer la définition de la limite à suite $(x_n)_{n\in \N}$ à cette boule puis conclure que certains termes de la suite ne sont pas dans $F$.