Soient $z_1,z_2,z_3,z_4$ des points distincts de $\mathbb{S}$.
Si $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont sur le même cercle de $\mathbb{S}$ alors $(z_1:z_2:z_3:z_4)\in \R$
Je ne comprends dans quels ensembles est définie $T$.Si $z_1,z_2,z_3,z_4$ sont sur le même cercle $C$ de $\mathbb{S}$ alors pour toute transformation homographique $T$, l'ensemble $T(C)$ est un cercle de $\mathbb{S}$.
On a tantôt $T:\mathbb{S}\to\mathbb{S}$, tantôt $T:\mathbb{S}\to\C\cup\infty$.
Je comprends bien que $\mathbb{S}\simeq\C\cup\infty$
Là, on n'est plus sur la sphère mais dans $\C\cup\infty$ donc notre $T(C)$ est identifié à la droite réelle.Donc si on suppose $T(z_2)=0,T(z_3)=1,T(z_4)=\infty$, on a $T(C)=\overline{\R}$.
L'image d'un cercle (par $T:\mathbb{S}\to\C\cup\infty$) passant par les pôles est une droite du plan complexe passant par l'origine.
J'arrive presque à comprendre le raisonnement.Il en résulte que $T(z_1)=(z_1:z_2:z_3:z_4)\in T(C)=\overline{\R}$ et comme $T(z_4)=\infty$ et que $T$ est injective, la proposition est prouvée.
Mais géométriquement, cela veut dire que quel que soit le cercle de $\mathbb{S}$ passant par les pôles, son image par $T:\mathbb{S}\to\C\cup\infty$ est toujours la droite réelle ?
Mais est que $T(\mathbb{S})=\C\cup\infty$ ?
Si oui, à partir de quel antécédent obtient on la droite imaginaire de $\C\cup\infty$ ?