En attendant de comprendre la démonstration de la proposition sur les fermés. J'essaie un autre exercice :
Soit $f(x,y,z)=(x-1)(y-2)z-\alpha$Soit $\alpha$ un nombre réel. on considère l'ensemble :
$$S_\alpha=\{(x,y,z)\in\R^3;(x-1)(y-2)z=\alpha\}$$
1) Montrer que si $\alpha$ est différent de $0$, alors $ S_\alpha$ est une hypersurface de $\R^3$.
$Df(x,y,z)=\begin{pmatrix}(y-2)z\\(x-1)z\\(x-1)(y-2)\end{pmatrix}=0\Longleftrightarrow\begin{cases}z=0\text{ et }x-1=0\\z=0\text{ et }y-2=0\\x-1=0\text{ et }y-2=0\end{cases}$
Si $\alpha\neq0$, ces points n'appartiennent pas à $S_\alpha$, donc $S_alpha$ est une hypersurface.
$S_0$ n'est pas une hypersurface car $Df(x,y,z)$ s'annule sur $(1,y,0)$, $(x,2,0)$ et en $(1,2,0)$ qui appartiennent à $S_0$.2) L'ensemble $S_0$ est il une hypersurface de $\R^3$ ? Justifier votre réponse. On pourra uriliser l'expression de la différentielle de la fonction qui à $(x,y,z)$ associe $(x-1)(y-2)z$.
Se servir de la différentielle, je ne comprends pas...
$Df(x)(h)=(y-2)z\vv{h_1}+(x-1)z\vv{h_2}+(x-1)(y-2)\vv{h_3}$
$\R^3\setminus\left\lbrace(1,y,0)\cup(x,2,0)\cup\{(1,2,0)\}\right\rbrace}$Trouver un ouvert $\Omega$ de $\R^3$ tel que $S_0\cap\Omega$ soit une hypersurface non vide de $\Omega$.
Est ce que la droite $(1,y,0)$ est un fermé ?
Je pense que oui car toute suite convergente à valeurs dans $(1,y,0)$ a sa limite dans $(1,y,0)$.
Donc $\Omega$ est un ouvert.