La fonction $u=u_f$ est de classe $C^2$ sur $U$ car $u=f\circ t$ où $t$ est l'application de $\R^*_++i\R$ dans $\R^*_+$ : $z\mapsto \dfrac{|z|^2}{Re\ \;z}=\dfrac{2}{\frac{1}{z}+\frac{1}{\bar{z}}}$.
Puisque $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$
Pourquoi $f'(t)$ ne signifie pas $\dfrac{dt}{dz}$ ?
Il vient : $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$
Pourquoi parle t-on de $\dfrac{\partial u}{\partial z}$ au lieu de $\dfrac{d u}{d z}$ ?
Pourquoi faut il que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$ pour que $f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$
Pourquoi $\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$ et pas :
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar{z}}=f''(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}+f'(t)\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$
$u'=(f\circ t)'=(f'\circ t)\cdot t'$
Je ne comprends toujours pas la différence entre $\dfrac{\partial t}{\partial z}\dfrac{\partial t}{\partial \bar{z}}$ et $\dfrac{\partial^2 t}{\partial z\partial \bar{z}}$