Je me noie dans l'analyse complexe et je ne comprends pas ce qu'il faut démontrer, ni ce qui la correction des exercices.
Exercice : Soit $E=\{Re>0\}$.
Déterminer les applications $f$ de $\R^*_+$ dans $\R$ de classe $C^2$ tel que :
$u_f=u:z\mapsto f\Big(\dfrac{|z|^2}{Re\;z}\Big)$ est harmonique sur $E$.
Pourquoi ça démontre que $u$ est $C^2$ ?La fonction $u=u_f$ est de classe $C^2$ sur $U$ car $u=f\circ t$ où $t$ est l'application de $\R^*_++i\R$ dans $\R^*_+,z\mapsto \dfrac{|z|^2}{Re\;z}=\dfrac{2}{\frac{1}{z}+\frac{1}{\bar{z}}}$.
Il faut dériver 2 fois ?
$f$ est $C^2$ d’après l’énoncé ?
J'ai toujours du mal à comprendre la construction de ces dérivées partielles.Puisque $\dfrac{\partial u}{\partial x}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}$
$u=f\circ t$,$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial f(t)}{\partial x}\cdot\dfrac{\partial t}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial f(t)}{\partial x}=f'(t)$ car $f$ est $C^2$ donc holomorphe ?
Je ne suis pas sûr que $C^2$ implique holomorphe et harmonique n'implique pas holomorphe.
Si $f$ est holomorphe, mais je n'ai pas encore compris pourquoi :
$\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{\partial f}{\partial x}-i\dfrac{\partial f}{\partial y}\Big)=\dfrac{\partial f}{\partial x}=-i\dfrac{\partial f}{\partial y}$ donc :
$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-i\dfrac{\partial f(t)}{\partial y}\cdot\dfrac{\partial t}{\partial y}$ et $-\dfrac{\partial f(t)}{\partial y}=f'(t)$ ?
Pourquoi ne peut t-on pas dire directement :il vient $\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}(f\circ t)=f'(t)\dfrac{\partial t}{\partial z}$.
$\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial f(t)}{\partial z}\cdot\dfrac{\partial t}{\partial z}=f'(t)\cdot\dfrac{\partial t}{\partial z}$ ?