Identifier un quotient

Aide à la résolution d'exercices de mathématiques de tout niveau scolaire.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
woodoo
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 125
Inscription : lundi 12 novembre 2012, 20:13

Identifier un quotient

Message non lu par woodoo »

Bonjour,

j'ai un exercice qui me pose problème.
On définit 3 ensembles $G, H$ et $N$ de matrices $3 \times 3$ réelles.
$G = \left\{ \left(\begin{array}{c c c} a & 0 & x \\ 0 & a^{-1} & y \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right): a, x, y \in \R, a \neq 0 \right\}$,
$H = \left\{ \left(\begin{array}{c c c} a & 0 & 0 \\ 0 & a^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right): a \in \R, a \neq 0 \right\}$,
$N = \left\{ \left(\begin{array}{c c c} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right): x, y \in \R, \right\}$.
1. Montrer que $G, H, N$ sont des sous-groupes de $GL_{3}(\R)$.
2. Montrer que $N$ est un sous-groupe normal de $G$ et identifier le groupe quotient $G/N$. Le groupe $G$ est-il résoluble?
J'ai montré que $G, H, N$ sont des sous-groupes, et que $N$ est normal dans $G$. Là où ça pose problème, c'est l'identification du quotient.
Je ne sais pas trop comment partir. Je sais qu'il doit y avoir une application $\alpha: G \to K$ dont le noyau est $N$, mais je ne sais pas comment poser $\alpha$ ni comment identifier $K$.
J'espère que vous avez quelques conseils à me donner pour identifier les quotients en général, car je suis un peu perdu.

Merci d'avance pour toute aide, et bonne journée!
woodoo
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 125
Inscription : lundi 12 novembre 2012, 20:13

Re: Identifier un quotient

Message non lu par woodoo »

J'ai fini par trouver.

$G/N$ est isomorphe à $\R \setminus \{0\}$ multiplicatif.

Il faut considérer l'homomorphisme surjectif $\alpha: G \to \R \setminus \{0\}$ défini par $\alpha(g) = a$ (le $a$ de la matrice), et conclure par le premier théorème d'isomorphisme.
balf
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 4065
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Identifier un quotient

Message non lu par balf »

C'est cela même.

B.A.
Répondre