je coince à nouveau sur un exercice d'algèbre.
Je n'ai pas eu de problème pour les points 1. et 2. En bref, $56 = 2^{3} \cdot 7$, $n_2 = 1$ ou 7 et $n_7 = 1$ ou 8, et on utilise ceci comme argument au point 2 pour dire qu'il existe au moins un sous-groupe normal non trivial.Soit $G$ un groupe d'ordre 56. On note $n_2$ (resp. $n_7$) le nombre de 2-Sylows (resp. 7-Sylows) de $G$.
1. Quelles sont les valeurs possibles pour $n_2$ et $n_7$? Si $n_7 > 1$, combien $G$ possède-t-il d'éléments d'ordre 7?
2. Montrer qu'un groupe d'ordre 56 n'est pas simple.
3. Pour le groupe $G = D_28$ des isométries d'un 28-gone régulier dans le plan, que valent $n_2$ et $n_7$?
Par contre au point 3, j'ai plus de mal, je ne sais pas trop comment procéder.
Tout d'abord, $D_28$ est engendré par la rotation $R_{\frac{360}{28}}$ d'angle $\frac{360}{28}$ et une symétrie $s$. Donc $D_28 = \{s^{i}R_{\frac{360}{28}}^{j}: i, j \in \Z, s^2 = I, R_{\frac{360}{28}}^{28} = I, sR_{\frac{360}{28}} = R_{\frac{360}{28}}^{-1}s \}$.
Ensuite, je note $A$ le groupe engendré par la rotation d'angle $\frac{360}{7}$. Alors $A = \{Id, \frac{360}{7}, \frac{720}{7}, \frac{1080}{7}, \frac{1440}{7}, \frac{1800}{7}, \frac{2160}{7}\}$, c'est-à-dire qu'il est d'ordre 7, donc c'est un 7-Sylow. De plus, $A$ est normal dans $G$ car pour tout $g$ dans $G$, on a $gAg^{-1} \in A$. Si $g$ est une rotation, alors on a $R_{\frac{360}{28}}^k R_{\frac{360}{7}}^l R_{\frac{360}{28}}^{-k} = R_{\frac{360}{28}}^k R_{\frac{360}{28}}^{-k} R_{\frac{360}{7}}^l = R_{\frac{360}{7}}^l \in A$.
Si $g$ est une symétrie, alors on a $s R_{\frac{360}{7}}^l s = R_{\frac{360}{7}}^{-l} s s = R_{\frac{360}{7}}^{-l} \in A$, ce qui implique que $A$ est normal dans $G$ et donc $n_7 = 1$.
Par contre pour $n_2$ il me semble que je ne peux pas utiliser ce truc, car le groupe engendré par la rotation de 45° n'a pas d'éléments dans $G$, à part l'identité. Je ne sais pas trop comment faire, et je ne sais même pas à quoi ressemble un élément d'ordre 8 dans $G$.
Merci d'avance pour toute aide, et bonne soirée!