Corps de déploiement de $x^4 + 2$

[woodoo]

Bonsoir,

J'ai un exercice où je dois calculer le corps de déploiement de $p(x) = x^4 + 2$ sur $\Q$.

Pour cela, il est indiqué que je dois considérer $\omega = e^{\frac{i \pi }{4}}$, autrement dit les racines 8èmes de l'unité.

Je ne comprend pas pourquoi on considère les $\omega^k = e^{\frac{i 2 \pi k }{8}}$ et non pas les $\omega^k = e^{\frac{i 2\pi k }{4}}$.

D'où vient le fait qu'on doit considérer les racines 8èmes de l'unité?

En cours, on avait fait un exemple où on a calculé les racines de $x^3 - 2$, et on a considéré $\omega = e^{\frac{i 2\pi }{3}}$, qu'on a ensuite multiplié par $\sqrt[2]{2}$. Pourquoi est-ce que je ne pourrais pas faire la même chose?

Merci d'avance et bonne soirée!

[balf]

Je suppose que ce que vous appelez le corps de déploiement d'un polynôme est ce que j'appelle son corps des racines (l'extension de Q engendrée par les racines du polynôme dans C). On prend les racines 8-ièmes parce que, comme on veut résoudre l'équation x⁴ = –2, on a besoin des racines quatrièmes de –1 (si l'on veut prendre pour point de départ la racine quatrième de 2). Et les racines quatrièmes de –1, avec celles de 1, ça nous fait les racines 8-ièmes de 1.

B.A.

[woodoo]

Oui en effet c'était bien ça!

On a en fait $x^4 = -2$, donc on regarde $\sqrt[4]{-2} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{-1} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt{1}} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{1}$ et bien entendu on ne garde que les racines 8èmes qui donnent -1.
Sinon on peut aussi poser $-1 = e^{i\pi}$ et $x = e^{\frac{2 \pi i k}{n}}$ et on cherche donc $n$ tel que $(e^{\frac{2 \pi i k}{n}})^4 = -1$, c'est-à-dire $e^{\frac{4 \cdot 2 \pi i k}{n}} = e^{i \pi}$ et donc $n = 8$ et $k$ est impair (car on veut obtenir $-1$).

Sinon oui, ce que j'appelle corps de déploiement est bien ce que vous appelez corps de racines.

Merci et bonne journée!

[JCL]

Bonjour,
Soit $\mathbb K_2$ le corps de décomposition de $X^4+2$ sur $\Q.\quad\mathbb K_2=\Q(\alpha, \beta,\gamma, \delta),\quad \alpha =\sqrt [4]2\exp\left(\dfrac{\mathrm i \pi}4\right ), \:\beta =\alpha \mathrm i, \:\gamma = - \alpha, \:\delta = -\alpha \mathrm i.$

Il est à noter que pour tout $a\in\N_{>2}$ sans facteur carré,$\:\sqrt[4]a $ et $\mathrm e^{\mathrm i \pi/4}$ n'appartiennent pas au corps $\mathbb K_a$ de décomposition de $X^4+a.$
Le fait $\:\sqrt[4]2$ et $\exp\left(\dfrac{\mathrm i \pi}4\right )\:$ soient des éléments de $\mathbb K_2$ ne m'a pas semblé si clair et me paraît nécessiter une justification:
$$\:2^{1/4}= \dfrac 2{\alpha- \beta},\quad \exp\left(\dfrac{\mathrm i \pi}4\right )=\dfrac {\alpha(\alpha- \beta)}2.$$
de sorte que $\:\: \mathbb K_2=\Q\left(\sqrt[4]2,\:\mathrm i\right)$ est aussi le corps de décomposition de $X^4-2$ sur $\Q.$

$\mathbb K_2$ est une extension galoisienne de degré $8$ de $\Q$, dont le groupe de Galois est isomorphe au groupe diédral $\mathcal D_8$, qui contient exactement cinq sous-corps de degré $4$ sur $\Q$ et trois sous-corps de degré $2$ sur $\Q.\quad $ Avec $\:\omega=\exp\left(\dfrac{\mathrm i \pi}4\right ):$

$$\xymatrix
{&&\mathbb K_2\ar@{-}[lld]\ar@{-}[ld]\ar@{-}[d] \ar@{-}[rd]\ar@{-}[rrd] \\
\mathbb Q(2^{1/4}\omega) \ar@{-}[rd]&\mathbb Q(2^{1/4}\omega^3) \ar@{-}[d]&\Q(\omega)\ar@{-}[ld] \ar@{-}[d] \ar@{-}[rd]&\Q(2^{1/4})\ar@{-}[d]& \Q(\mathrm i 2^{1/4})\ar@{-}[ld]\\
& \Q(\mathrm i \sqrt 2)\ar@{-}[rd]& \Q(\mathrm i)\ar@{-}[d]&\Q(\sqrt2)\ar@{-}[ld]\\&&\mathbb Q}$$