Nombres et multiples

[marie-line]

on considère le nombre 2**6,où les chiffres des centaines et des dizaines sont inconnus.
trouvez les deux chiffres manquants de ce nombre pour qu-il soit multiple de 3 et de 4 mais pas de 9 (une seule solution est demandée). expliquer pourquoi le nombre trouvé convient.

[deratcosac]

Si l'on note le nombre N ABCD (A milliers, B centaines, C dizaines, D unités)
$N=1000A + 100B + 10C + D$
-1°) pour être multiple de neuf, il faut A+B+C+D soit multiple de neuf
Rappel de démo (trouvée sur Internet)
$10=9+1$
$100=99+1$
$1000=999+1$
$N=1000A + 100B + 10C + D=999A+A+99B+B+9C+C+D$
$N=999A+99B+9C+A+B+C+D$
Comme $999A+99B+9C$ est multiple de neuf, si $A+B+C+D$ est multiple de neuf, alors $N$ est multiple neuf.
-2°) pour être multiple de trois, il faut A+B+C+D soit multiple de trois
Rappel de démo (trouvée sur Internet)
$10=9+1=3*3+1$
$100=99+1=3*33+1$
$1000=999+1=3*333+1$
$N=1000A + 100B + 10C + D=3*333A+A+3*33B+B+3*3C+C+D$
$N=3*333A+3*33B+3*3C+A+B+C+D$
Comme $3*333A+3*33B+3*3C$ est multiple de trois, si $A+B+C+D$ est multiple de trois, alors $N$ est multiple trois.
- 3°) pour être multiple de quatre, il faut 2C+D soit multiple de quatre
Rappel de démo (trouvée sur Internet)
$10=4*2+2$
$100=4*25$
$1000=4*250$
$N=1000A + 100B + 10C + D=4*250A+4*25B+4*2C+2C+D$
Comme $4*250A+4*25B+4*2C$ est multiple de quatre, si $2C+D$ est multiple de quatre, alors $N$ est multiple quatre.

Dans le sujet $A=2, D=6$
D'après le 1°), si $B+C+8$ n'est pas multiple de neuf alors $N=2BC6$ n'est pas multiple de neuf.
D'après le 2°), si $B+C+8$ est multiple de trois alors $N=2BC6$ est multiple de trois.
D'après le 3°), si $2C+6$ est multiple de quatre alors $N=2BC6$ est multiple de quatre.

J'ai commencé par le 3°) qui va donner les valeurs de $C$ possibles.
Les multiples de quatre ($2C+6$) sont $0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36$
Les mêmes multiples de quatre moins six ($2C$) sont $-6, -2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30$
Les valeurs de $C$ sont $-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$
Les valeurs possibles de $C$ sont $1, 3, 5, 7, 9$

Ensuite, en combinant le 1°) et le 2°), je vais avoir les valeurs de $B+C$ possibles.
Les multiples de trois ($B+C+8$) sont $0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 27, 30$
Les mêmes multiples de trois moins huit ($B+C$) sont $-8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22$
Les valeurs possibles de $B+C$ sont $1, 4, 7, 10, 13, 16, 19$

Les multiples de neuf ($B+C+8$) sont $0, 9, 18, 27, 36$
Les mêmes multiples de neuf moins huit ($B+C$) sont $-8, 1, 10, 19, 27$
Les valeurs impossibles de $B+C$ sont $1, 10, 19$

Au final, les valeurs possibles de $B+C$ sont $4, 7, 13, 16$

En résumé, les valeurs possibles de $C$ sont $1, 3, 5, 7, 9$ et celles de $B+C$ sont $1, 10, 19$
Ensuite, 11 valeurs de $N$ possibles
$C=1$, $B+C=4$, $N=2316$
$C=1$, $B+C=7$, $N=2616$
$C=3$, $B+C=4$, $N=2136$
$C=3$, $B+C=7$, $N=2436$
$C=5$, $B+C=7$, $N=2256$
$C=5$, $B+C=13$, $N=2856$
$C=7$, $B+C=7$, $N=2076$
$C=7$, $B+C=13$, $N=2676$
$C=7$, $B+C=16$, $N=2976$
$C=9$, $B+C=13$, $N=2496$
$C=9$, $B+C=16$, $N=2796$

[rebouxo]

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliquer. Pourquoi avoir 4 inconnues, où le texte n'en demande que deux ?
De plus l'OP étant en 6e au vu de son profil, je doute fort que la méthode soit celle attendue.

Mais bon, comme c'est la période des détérages de sujets oubliés.

Olivier

[deratcosac]

Désolé mais la solution a été traitée pour 2 inconnues. Que fallait-il faire, trouver un nombre au pif et montrer qu'il était multiple de 3, de de 4 et pas de neuf ?

[rebouxo]

Désolé mais la solution a été traitée pour 2 inconnues. Que fallait-il faire, trouver un nombre au pif et montrer qu'il était multiple de 3, de de 4 et pas de neuf ?

Cela veux dire quoi au pif ?

Oui, après une demi page de calculs, avec 4 inconnues. Bon, ben mes BTS sont déjà largués, alors des élèves de 6e (quoique )

Une recherche systématique, c'est du pif ? En Angleterre, une telle recherche est possible dés l'école primaire, grâce à l'informatique.

Avec un peu de réflexion, on peut faire :
Le nombre est multiple de 4, donc il doit se terminer par 16, 36, 56, 76 ou 96. Il ne reste qu'à trouver la valeur du chiffre des centaines.
Par exemple : 2+1+6 = 9, donc les possibilités pour le chiffre des dizaines sont : 3 et 6 : 2316 et 2616. On fait la même chose pour les autres cas...

Ça c'est accessible à des élèves de 6e, les équations ne le sont pas et sont même un mauvais moyen d'introduire le calcul litéral.

Voilà, et ceci c'était pour faire tous les cas, et ce n'est pas demandé dans l'exercice.

Enfin, et pour finir, le but n'est pas de donner des réponses toutes faites, mais de donner des pistes pour les élèves même si, ici, on peut envisager que ce n'est pas problématique..., vu que c'est un déterrage.

Olivier