Dérivée
Dérivée
Salut,
Je sais pas comment résoudre ce problème, j'arrive pas à poser une équation qui met en lien les différents éléments:
"Un fil de longueur L doit être coupé en deux parties de manière à pouvoir former un triangle équilatéral avec l'une et un carré avec l'autre. Comment faut-il couper ce fil pour que l'aire totale des deux figures construites soit:
a. maximale
b. minimale?"
Je sais pas comment résoudre ce problème, j'arrive pas à poser une équation qui met en lien les différents éléments:
"Un fil de longueur L doit être coupé en deux parties de manière à pouvoir former un triangle équilatéral avec l'une et un carré avec l'autre. Comment faut-il couper ce fil pour que l'aire totale des deux figures construites soit:
a. maximale
b. minimale?"
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 1388
- Inscription : lundi 24 novembre 2008, 22:17
- Statut actuel : Autre
Re: dérivée
Bonsoir
écrivez que L est le périmètre du carré et du triangle équilatéral
en appelant $x$ la longueur du côté du triangle et $ y$ celle du carré En déduire une écriture de $y $en fonction de $x$ et de L
écrivez l'aire du triangle et celle du carré en fonction de $ x$ puis étudiez la fonction qui à $x$ associe l'aire totale
écrivez que L est le périmètre du carré et du triangle équilatéral
en appelant $x$ la longueur du côté du triangle et $ y$ celle du carré En déduire une écriture de $y $en fonction de $x$ et de L
écrivez l'aire du triangle et celle du carré en fonction de $ x$ puis étudiez la fonction qui à $x$ associe l'aire totale
Re: dérivée
Pour calculer l'aire du triangle équilatéral dont le périmètre est connu, le plus simple est d'utiliser la formule de Héron d'Alexandrie : p étant le demi-périmètre d'un triangle dont les côtés ont pour longueur a, b,c, l'aire est égale à
$$\math A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
$$\math A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
Re: dérivée
Je dois faire quelque chose de faux parce que quand j'étudie l'aire en fonction de x, A(x) ça me donne une valeur négative pour le coté du triangle
-
- Modérateur honoraire
- Messages : 6962
- Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
- Localisation : le havre
- Contact :
Re: dérivée
Et bien dis nous ce que tu fais. On pourra t'aider.Dassault a écrit :Je dois faire quelque chose de faux parce que quand j'étudie l'aire en fonction de x, A(x) ça me donne une valeur négative pour le coté du triangle
Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.
Par solidarité, pas de MP.
Re: dérivée
J'ai:
périmètre: L = 4x + 3y donc x = (L - 3y)/4
aire: x^2 + (√3*y^2)/4
donc je dois dérivé: ((L - 3y)/4)^2 + (√3*y^2)/4
et là je trouve: -3L/8 + 9y/8 +√3*y/2
périmètre: L = 4x + 3y donc x = (L - 3y)/4
aire: x^2 + (√3*y^2)/4
donc je dois dérivé: ((L - 3y)/4)^2 + (√3*y^2)/4
et là je trouve: -3L/8 + 9y/8 +√3*y/2
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 1388
- Inscription : lundi 24 novembre 2008, 22:17
- Statut actuel : Autre
Re: dérivée
en prenant $x$ pour la longueur du côté du carré et y celle du triangle
l'aire est bien $x^2+\dfrac{\sqrt{3}y^2}{4}$
soit en remplaçant $\dfrac{(L-3y)^2}{16}+\dfrac{4\sqrt{3}y^2}{16}=\dfrac{L^2-6Ly+(9+4\sqrt{3})y^2}{16}$
Dérivez
l'aire est bien $x^2+\dfrac{\sqrt{3}y^2}{4}$
soit en remplaçant $\dfrac{(L-3y)^2}{16}+\dfrac{4\sqrt{3}y^2}{16}=\dfrac{L^2-6Ly+(9+4\sqrt{3})y^2}{16}$
Dérivez
Re: dérivée
En dérivant je trouve:
A'(y) = -3L/8 + (9+4√3)y/8
Mais j'arrive pas à trouver de maximum ou de minimum avec cette fonction
A'(y) = -3L/8 + (9+4√3)y/8
Mais j'arrive pas à trouver de maximum ou de minimum avec cette fonction
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 1388
- Inscription : lundi 24 novembre 2008, 22:17
- Statut actuel : Autre
Re: Dérivée
la dérivée s'annule pour $ y=\dfrac{L(9-4\sqrt{3})}{11}$
la fonction admet un extremum pour les valeurs où la dérivée s'annule en changeant de signe
vous avez un polynôme de degré 2 avec le coefficient de $ y^2$ positif minimum pour la valeur précédente $ y=\dfrac{L(9-4\sqrt{3})}{11}$
la fonction admet un extremum pour les valeurs où la dérivée s'annule en changeant de signe
vous avez un polynôme de degré 2 avec le coefficient de $ y^2$ positif minimum pour la valeur précédente $ y=\dfrac{L(9-4\sqrt{3})}{11}$
Re: Dérivée
Ok, j'arrive à trouver le minimum, mais pour le maximum la logique pour voudrait que l'on ne construise que le carré, mais y a-t-il un moyen de la calculer? Par exemple en cherchant la limite de f(x) lorsqu'elle tend vers -/+ l'infini?
Re: Dérivée
bonjour,
Je crois qu'avant toute chose, il faut pas oublier de déterminer l'ensemble de définition de ta fonction. Ton fil serait-il infini ? j'en doute, non ?Dassault a écrit : Par exemple en cherchant la limite de f(x) lorsqu'elle tend vers -/+ l'infini?
Pas d'aide par MP.
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 1388
- Inscription : lundi 24 novembre 2008, 22:17
- Statut actuel : Autre
Re: Dérivée
bonsoir
vous avez comme relation $ 4x+3y=L$
n'oubliez pas que $ x$ et$ y$ sont des longueurs
vous avez comme relation $ 4x+3y=L$
n'oubliez pas que $ x$ et$ y$ sont des longueurs
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 1388
- Inscription : lundi 24 novembre 2008, 22:17
- Statut actuel : Autre
Re: Dérivée
Puisque ce sont des longueurs $x$ et $y$ doivent être positifs
$x\geqslant 0$ entraîne$ \dfrac{L-3y}{4}\geqslant 0$ d'où $y\leqslant \dfrac{L}{3}$ par conséquent $0\leqslant y\leqslant \dfrac{L}{3}$
on en déduit alors que $0\leqslant x\leqslant \dfrac{L}{4}$ Pour cette dernière valeur,on a le cas où il n'existe que le carré
$x\geqslant 0$ entraîne$ \dfrac{L-3y}{4}\geqslant 0$ d'où $y\leqslant \dfrac{L}{3}$ par conséquent $0\leqslant y\leqslant \dfrac{L}{3}$
on en déduit alors que $0\leqslant x\leqslant \dfrac{L}{4}$ Pour cette dernière valeur,on a le cas où il n'existe que le carré