Dimension

[loïc67]

Bonjour à tous,
Je suis en train de travailler sur le concept de dimension, et j"aimerais l'expliquer sans faire d'erreur.
Par exemple, on voit souvent : "S'il faut et s'il suffit d'avoir n nombres dans $\mathbb{K}$ dans les coordonnées, alors la dimension (sur $\mathbb{K}$) est n. C'est pourquoi, on m'a déjà dit qu'un cercle était de dimension 2 puisqu'il fallait deux nombres pour décrire n'importe quel point du cercle. Ma réponse, c'est qu'il faut se mettre dans le cercle et essayer de le générer (d'aller partout) avec un minimum de "directions" (degrés de liberté). D'où mes questions :
1. Comment est-il possible d'expliquer que la sphère est de dimension 2 sur $\mathbb{R}$ sans passer par des angles dont les sommets sont à l'extérieur de cette sphère ?
2. Peut-on parler de dimension d'un espace sans parler de coordonnées ?
3. Qu'est-ce qu'un degré de liberté ?

Loïc

[guiguiche]

Un point d'un cercle est paramétré par un angle -> dimension 1 (ou encore, les 2 coordonnées d'un cercle d'un plan sont liées par une équation donc une coordonnée s'exprime en fonction de l'autre -> dimension 1)
Une sphère est paramétrée par 2 angles (longitude et latitude) -> dimension 2

[bibi6]

Bonjour,

Bonjour à tous,
Je suis en train de travailler sur le concept de dimension, et j"aimerais l'expliquer sans faire d'erreur.

Dans ce que tu racontes ensuite, selon moi, il faut faire la distinction entre:
- dimension d'un espace vectoriel, d'une part;
- et dimension d'une variété différentielle d'autre part.

Par exemple, on voit souvent : "S'il faut et s'il suffit d'avoir n nombres dans $\mathbb{K}$ dans les coordonnées, alors la dimension (sur $\mathbb{K}$) est n.

Intuitivement OK... pour les espaces vectoriels^^

C'est pourquoi, on m'a déjà dit qu'un cercle était de dimension 2 puisqu'il fallait deux nombres pour décrire n'importe quel point du cercle.

Et c'est là que le bât blesse.

En effet, tu as besoin a priori de 2 "nombres" pour pouvoir décrire ton cercle. Cela parce que tu vois le cercle comme sous-ensemble du plan.

Or, tu as une condition supplémentaire qui te lie ces coordonnées (typiquement $x^2 + y^2 = r^2$, avec $r$ le rayon qui est fixé)... et donc (je te passe les détails), si je pose $\theta$ tel que $x = r \cos \theta$ et $y = r \sin \theta$, je décris totalement mon cercle avec $\theta$.

Donc, on n'a plus besoin que d'un nombre pour décrire le cercle... résultat, comme l'indique guiguiche, dimension 1 pour le cercle!

Et, en effet, le cercle est bien une variété différentielle de dimension 1: j'ai explicité une fonction (différentiable) qui le paramétrise avec une seule coordonnée.

Ma réponse, c'est qu'il faut se mettre dans le cercle et essayer de le générer (d'aller partout) avec un minimum de "directions" (degrés de liberté).

L'intuition est la bonne. Un autre point de vue est: si je me place quelque part, ça "ressemble" à quoi? Une droite? Un plan? (Pour le cercle, c'est une droite - tu n'as qu'une direction, un degré de liberté).

Je réponds maintenant à tes questions ^^

1. Comment est-il possible d'expliquer que la sphère est de dimension 2 sur $\mathbb{R}$ sans passer par des angles dont les sommets sont à l'extérieur de cette sphère ?
2. Peut-on parler de dimension d'un espace sans parler de coordonnées ?
3. Qu'est-ce qu'un degré de liberté ?

1. Une paramétrisation typique de la sphère centrée en l'origine et de rayon 1 est:
$$\left\{\begin{aligned}
x&=\cos\theta\cos\phi\\
y&=\cos\theta\sin\phi\\
z&=\sin\theta
\end{aligned}\right.$$
(Oui, je passe par des angles... mais le sommet est à l'origine )

2. C'est possible selon moi... même si la notion de coordonnée y est vraiment liée

3. J'aurais envie de répondre "dimension $n$ = $n$ degrés de liberté."