Limite

[natha1]

Bonjour

j 'ai un peu de mal à comprendre la limite avec des valeurs absolue:

$\lim_{ x\rightarrow 1 }\frac { { \left( x-1 \right) }^{ 2 } }{ |{ x }^{ 2 }-1| }$

normalement je simplifierai mais là c est la valeurs absolue qui me derange...mon problème est que ma fonction n'existe pas pour 1,-1

$\frac { \left( x-1 \right) \left( x-1 \right) }{ |x-1||x+1| } ?$

je m’interroge sur la méthode de résolution,
merci pour tte aide,

[kojak]

Bonjour,

mon problème est que ma fonction n'existe pas pour 1,-1

C'est bien pour ceci qu'on demande la limite si elle existe de la fonction,

$\frac { \left( x-1 \right) \left( x-1 \right) }{ |x-1||x+1| } ?$

Oui correct.

Maintenant, il te faut essayer de simplifier tout ceci, et donc "d’enlever" ces valeurs absolue.

Pour simplifier une valeur absolue, il te faut le signe de l’expression à l’intérieur de cette valeur absolue, donc qd $x$ tend vers $1$, quel est le signe de $x+1$ ? d'ailleurs ça vaut quoi pour $x=1$ ?

Idem pour $x-1$ : peut être un petit tableau de signes non ? pour $x<1$ et pour $x>1$, quel est le signe de $x-1$ ?

[natha1]

Bonjour,

merci de vôtre réponse,en faite, j'avais eu cette idée de signe,sans faire de tableau, $f$ est positif partout sauf entre -1 et 1. Je sais qu'il faut garder l'intervalle 1+ .....infini parce que la limite cherché est tous simplement en 1.
Sa m'aide pas plus ,,,je ne sais pas comment faire a cause de la valeur absolue. Hier soir j'ai essayée pleins de chose et bizarrement sa m'oriente vers une autre fonction .On dirait qu'elles sont égales ,que c'est la même chose.

j'ai fais $x$ positif, en simplifiant

$\lim _{ x\rightarrow { 1 } } \frac { x-1 }{ x+1 } =\lim _{ x\rightarrow 1 } \frac { 1 }{ 2 } \left( x-1 \right) \\ =0 $


puis $x$ négatif en simplifiant

$\lim _{ x\rightarrow { 1 } } -\frac { x-1 }{ x+1 } =\lim _{ x\rightarrow 1 } -\frac { 1 }{ 2 } \left( x-1 \right) \\ \\ =0$

finalement sa revient au même $+-$ autant remettre la valeur absolue et en plus le résultat ne change pas?

$ \lim _{ x\rightarrow 1 } \frac { 1 }{ 2 } |x-1|=0$


enfin voici mon raisonnement.


vous faite comment avec l'intervalle positif déduis du signe de la fonction?

merci professeur,

[kojak]

j'avais eu cette idée de signe,sans faire de tableau, $f$ est positif partout sauf entre -1 et 1.

Oui correct.

Je sais qu'il faut garder l'intervalle 1+ .....infini parce que la limite cherché est tous simplement en 1

Non pas du tout. Il te faut regarder la limite qd $x$ tend vers $1$ par valeurs supérieures et qd $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures.

j'ai fais $x$ positif, en simplifiant

$\lim _{ x\rightarrow { 1 } } \frac { x-1 }{ x+1 } =\lim _{ x\rightarrow 1 } \frac { 1 }{ 2 } \left( x-1 \right) \\ =0 $


puis $x$ négatif en simplifiant

$\lim _{ x\rightarrow { 1 } } -\frac { x-1 }{ x+1 } =\lim _{ x\rightarrow 1 } -\frac { 1 }{ 2 } \left( x-1 \right) \\ \\ =0$

Pas tout à fait : c'est $x>1$ soit $x-1>0$ et ensuite $x<1$ soit $x-1<0$ et non $x$ positif ou négatif.

finalement sa revient au même $+-$ autant remettre la valeur absolue et en plus le résultat ne change pas?

$ \lim _{ x\rightarrow 1 } \frac { 1 }{ 2 } |x-1|=0$

oui correct car $(x-1)^2=|x-1|^2$ donc tu peux simplifier comme tu l'as fait

[natha1]

bonjour,


$ |x-1|^{ 2 }=(x-1)^2$ je ne connaissais pas cette propriété merci

c est beaucoup plus rapide alors.

$ \frac { |x-1|^{ 2 } }{ |x-1||x+1| } =|\frac { x-1 }{ x+1 } |=|\frac { 1 }{ 2 } ||x-1|=\frac { 1 }{ 2 } .|x-1|=0$

la limite en 1 existe et vaut 0

merci de m'avoir aidé a comprendre

bonne soirée