Etude d'une suite homographique

[chacha778]

Bonjour à tous, j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine, j'ai donc décidé de m'y prendre assez tôt car j'ai un peu de mal, voici mon exercice:

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] -1/2; + l'infini [ par f(x)= (3x)/(2x+1)

On considère la suite définie pour tout n appartenant à N par: U0= 1/2 et Un+1 = (3Un)/(2Un+1)

1. Étudier les variations de f et tracer la représentation graphique

Je trouve pour 2x+1 x= -1/2 et pour 3x x= -3 soit dans mon tableau + - + mais je n'arrive pas à tracer, dois-je juste faire les variations soit croissante, décroissante, croissante ?

2. Calculer U1 et U2

U1 = 1/4 et U2 = 1/2

3. Étude de la convergence de Un

a. Montrer par récurrence que 0 < Un < ou égal à 1

Initialisation : 0 < Un soit 0 < U0 soit 0 < 1/2 La propriété est vraie pour n=0

Hérédité: supposons que Un > 0 et montrons que Un+1 > 0 Un+1 = ( 3Un)/(2Un +1) soit (3*1/2)/(2*1/2 +1) = 3/4 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' Un > 0 ' est vraie pour n=0 et elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout n

Initialisation : Un < ou égal à 1 n=1 1 > 1/2 donc la propriété est vraie pour n=1

Hérédité : Supposons que 1 > ou égal à Un et montrons que 1 > ou égal à Un+1 soit (3*1)/( 2*1 +1) = 1 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' Un < ou égal à 1 ' est vraie et elle est héréditaire.

b. Montrer que Un+1 - Un = 2Un * (1-Un)/(2Un+1)

J'ai penser faire un produit en croix mais je me suis totalement perdue..

c. En déduire que Un+1 - Un > ou égal à 0, que peut-on en conclure sur le sens de variation de Un

Je n'ai pas réussi

d. A l'aide du théorème 4 du cours que l'on admettra, montrer que Un converge

Je n'y arrive pas non plus

4. Calcul de limite de Un

Soit Un la suite définie pour tout n appartenant à N par Vn = ( Un)/(1 - Un)

a. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn

j'ai donc fais Vn+1 - Vn et j'arrive à ( 3Un)/( 2Un +1) - ( 2Un+1)/(-6Un2 -3Un)..

b. En déduire que Vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison

V0 = 1/4 V1 = 3/16 V2 = 1/4 Je trouve que du premier au deuxième terme on fait * 3/4 mais pour la suite sa ne colle pas du coup je ne sais pas la raison exacte

c. Exprimer Vn en fonction de n

Je n'y arrive pas, j'ai juste commencer par Vn = ( Un)/( 1 - Un)

d. Exprimer Un en fonction de Vn

Or je ne comprend pas car nous n'avons pas la suite Un

5. Ma photo ne veut pas charger donc je ne sais pas comment vous décrire ce qu'il y a de marquer, il y a le grand E mathématiques avec k=7 au dessus et k=0 en dessous avec à côté du E Vk. La question est de le calculer

6. En conclure que Un = ( 3n)/( 1 + 3n)

7. Montrer que Un = (1)/( 1 + (1/3)^n ) En déduire la limite de Un

Je suis complétement perdue pour ces questions..

J'aimerais juste des explications pour que je puisse le faire tout en comprenant pourquoi je n'y arrive pas, merci d'avance !

[rebouxo]

Bonjour à tous, j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine, j'ai donc décidé de m'y prendre assez tôt car j'ai un peu de mal, voici mon exercice:

Bonjour. C'est bien ça

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] -1/2; + l'infini [ par f(x)= (3x)/(2x+1)

On considère la suite définie pour tout n appartenant à N par: U0= 1/2 et Un+1 = (3Un)/(2Un+1)

1. Étudier les variations de f et tracer la représentation graphique

Je trouve pour 2x+1 x= -1/2 et pour 3x x= -3 soit dans mon tableau + - + mais je n'arrive pas à tracer, dois-je juste faire les variations soit croissante, décroissante, croissante ?

Je ne comprends pas tes calculs. À quoi correspond donc la ligne de calcul ?
Sinon, oui dans cette question tu dois dire si la fonction est croissante, décroissante et sur quels intervalles.

2. Calculer U1 et U2

U1 = 1/4 et U2 = 1/2

Non.

3. Étude de la convergence de Un

a. Montrer par récurrence que 0 < Un < ou égal à 1

Initialisation : 0 < Un soit 0 < U0 soit 0 < 1/2 La propriété est vraie pour n=0

Hérédité: supposons que Un > 0 et montrons que Un+1 > 0 Un+1 = ( 3Un)/(2Un +1) soit (3*1/2)/(2*1/2 +1) = 3/4 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' Un > 0 ' est vraie pour n=0 et elle est héréditaire. Donc elle est vraie pour tout n

Initialisation : Un < ou égal à 1 n=1 1 > 1/2 donc la propriété est vraie pour n=1

Hérédité : Supposons que 1 > ou égal à Un et montrons que 1 > ou égal à Un+1 soit (3*1)/( 2*1 +1) = 1 La propriété est héréditaire

Conclusion : La propriété ' Un < ou égal à 1 ' est vraie et elle est héréditaire.

Sauf contre ordre de ton prof, je ferais les deux récurrences en une seule.
Il y a des maladresses de rédaction. Il ne faut pas (puisque c'est ce que tu cherches à démontrer) commencer ton initialisation par $0 < U_n$. C'est ce que tu cherches à démontrer.

1. Initialisation, $0 < \frac{1}{2} <= 1$. La propriété est donc vraie au rang $0$.
2. Hérédité : Ton hérédité est fausse. Il faut utiliser les variations de la fonction $f$. Tu as simplement démontrer que la propriété annoncée était vraie pour $U_1$.
3. conclusion : tant que l'on a pas l'hérédité, on n'a pas la conclusion !

b. Montrer que Un+1 - Un = 2Un * (1-Un)/(2Un+1)

J'ai penser faire un produit en croix mais je me suis totalement perdue..

Oui, cela se voit
Écris ton calculs, factorise, puis mets au même dénominateur.

c. En déduire que Un+1 - Un > ou égal à 0, que peut-on en conclure sur le sens de variation de Un

Je n'ai pas réussi

Il suffit d'étudier le signe de $U_{n+1} - U_n$ avec la forme de la question précédente.

d. A l'aide du théorème 4 du cours que l'on admettra, montrer que Un converge

Je n'y arrive pas non plus

C'est quoi le théorème 4 du cours ?

4. Calcul de limite de Un

Soit Un la suite définie pour tout n appartenant à N par Vn = ( Un)/(1 - Un)

a. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn

j'ai donc fais Vn+1 - Vn et j'arrive à ( 3Un)/( 2Un +1) - ( 2Un+1)/(-6Un2 -3Un)..

? Il faut que tu arrives à une expression du type $V_{n+1} = $ un truc simple qui ne dépend que de $V_n$

b. En déduire que Vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison


V0 = 1/4 V1 = 3/16 V2 = 1/4 Je trouve que du premier au deuxième terme on fait * 3/4 mais pour la suite sa ne colle pas du coup je ne sais pas la raison exacte

La question b t'indiques ce que tu dois trouver à la question a. C'est quoi une suite géométrique ?

c. Exprimer Vn en fonction de n

Je n'y arrive pas, j'ai juste commencer par Vn = ( Un)/( 1 - Un)

Dès que l'on saura que $V_n$ est une suite géométrique, on pourra répondre à cette question.

d. Exprimer Un en fonction de Vn

Or je ne comprend pas car nous n'avons pas la suite Un

C'est pas grave. Il faut donner une égalité avec à gauche du signe $=$, $U_n$ et à droite une expression qui ne dépend que de $V_n$.

5. Ma photo ne veut pas charger donc je ne sais pas comment vous décrire ce qu'il y a de marquer, il y a le grand E mathématiques avec k=7 au dessus et k=0 en dessous avec à côté du E Vk. La question est de le calculer

Ha oui cela me laisse un peu dans le vague
Quelque chose comme cela (le E mathématique est un sigma majuscule, la lettre grecque correspondant à note S) :
$$ \sum_{k=0}^{k=7} V_k$$
Cela se lit somme de k = 0 à 7 des V_k et il faut que tu calcules $V_0 + V_1+ V_2+\cdots+ V_7$. C'est une suite géométrique donc, tu dois avoir quelque chose dans ton cours la-dessus.

6. En conclure que Un = ( 3n)/( 1 + 3n)

7. Montrer que Un = (1)/( 1 + (1/3)^n ) En déduire la limite de Un

Je suis complétement perdue pour ces questions..

J'aimerais juste des explications pour que je puisse le faire tout en comprenant pourquoi je n'y arrive pas, merci d'avance !

Pour les deux dernières questions, tant que l'on n'as pas les précédentes, on ne pourra pas les faire.
On va faire les questions dans l'ordre. Commençons par la première question.

Bon courage
Olivier
Tu es vraiment en 1ereS ? Si ce n'est pas le cas, peux-tu corriger ton profil ?

[chacha778]

Bonjour, pour la 1. Pour faire simple, je trouve x= -1/2 et x=-3
2. U1= 3/4 et U2= 9/10 ( petite erreur de ma part )
3a. Oui j'ai toujours du mal pour l'hérédité et je ne comprend pas réellement ce qu'il faut faire hormis le fait qu'il faut démontrer que quelque chose est supérieur ou égal à Un+1
b. J'ai du mal pour la factorisation, enfaite je comprend pas réellement, je pense qu'il faut factorisé par 2Un mais la suite je bloque toujours
d. Théorème 4= Une suite majorée et croissant est convergente
Une suite minorée et décroissante est convergente
Une suite croissante et non majorée diverge vers +l'infini
Une suite décroissante et non minorée diverge vers - l'infini
4a. Il faut donc que je face Vn+1 = Vn ?
b. Il me semble que je dois trouver nr * q ?
5. Oui voila c'est exactement ça
Pour le profil je vais le faire de suite, je viens de rentrer en terminale S j'ai oublié de changer, merci

[rebouxo]

Bonjour, pour la 1. Pour faire simple, je trouve x= -1/2 et x=-3

Je ne sais pas ce que tu cherches. Avant de te lancer dans des calculs, dis ce que tu veux faire.

2. U1= 3/4 et U2= 9/10 ( petite erreur de ma part )

OK.

3a. Oui j'ai toujours du mal pour l'hérédité et je ne comprend pas réellement ce qu'il faut faire hormis le fait qu'il faut démontrer que quelque chose est supérieur ou égal à Un+1

Non, pas supérieur à $U_{n+1}$, mais supérieur à $n$ ! Moi, j'imagine une échelle, sur laquelle tu as les valeurs de ta suite. Pour aller sur la marche n+1, il faut que je sois allé à la marche n. L"hérédité c'est cela. Ce qui permet de passer d'une valeur à la valeur juste après.

b. J'ai du mal pour la factorisation, en faite je comprend pas réellement, je pense qu'il faut factorisé par 2Un mais la suite je bloque toujours

Ah c'est gênant, pour les études que tu fait. La distributivité dis simplement que tu peux calculer l'aire d'un rectangle de deux manières différentes. Soit en le considérant comme un tout, soit en considérant qu'il y a quatre morceaux. La factorisation permet de passer de l'éclaté au rectangle unique.
Ce n'est pas par $2U_n$, mais tu n'es pas loin.

d. Théorème 4= Une suite majorée et croissant est convergente
Une suite minorée et décroissante est convergente
Une suite croissante et non majorée diverge vers +l'infini
Une suite décroissante et non minorée diverge vers - l'infini

On sait grâce à la question sur la récurrence que la suite est bornée (minorée et majorée). Donc, soit elle est décroissante, et la suite converge ; soit la suite est croissante et elle est convergente ; soit la suite n'est ni croissante, ni décroissante et l'on ne peut rien dire.

4a. Il faut donc que je face Vn+1 = Vn ?

Non. Il faut une suite géométrique (cf, la question suivante), donc.

b. Il me semble que je dois trouver nr * q ?

De mémoire cela n'est pas l'expression d'une suite géométrique, mais mon grand âge joue des tours à ma mémoire

5. Oui voila c'est exactement ça
Pour le profil je vais le faire de suite, je viens de rentrer en terminale S j'ai oublié de changer, merci

Ça alors ! du premier coup.
Olivier

[chacha778]

1. Il y a écrit qu'il faut étudier les variations de f, soit faire un tableau de signe, non ?
3b. Oui c'est assez gênant, il y a des fois je vais réussir et d'autres pas trop, comme ici, pourquoi on ne peut pas par 2Un ? Par 2 on ne peut pas vu que c'est *, si ?
4b. 1terme * q^n-1

[rebouxo]

1. Il y a écrit qu'il faut étudier les variations de f, soit faire un tableau de signe, non ?

Oui, mais il faut étudier le signe de quoi ?

3b. Oui c'est assez gênant, il y a des fois je vais réussir et d'autres pas trop, comme ici, pourquoi on ne peut pas par 2Un ? Par 2 on ne peut pas vu que c'est *, si ?

Parce qu'il n'y a pas de 2 à mettre en facteur !
Il faut écrire le calcul :
$$
U_{n+1} - U_n = \dfrac{3U_n}{2U_n+1} -U_n
$$
Quel est le facteur commun ?
Si tu passes ta souris sur la formule tu verras comment elle se tape. C'est bien plus clair.

4b. 1terme * q^n-1

[chacha778]

Bonjour, étudier le signe de f'(x) ?
3b. je trouve Un+1-Un =3Un/(2Un+1)-Un= (3Un-Un-2(Un)2)/(2Un+1)= 2Un*(1-Un)/(2Un+1) ?

[rebouxo]

Bonjour, étudier le signe de f'(x) ?

Yapluka !

3b. je trouve Un+1-Un =3Un/(2Un+1)-Un= (3Un-Un-2(Un)2)/(2Un+1)= 2Un*(1-Un)/(2Un+1) ?

Oui, avec un exposant qui est mal placé.

Voilà comment je ferais :
$$
U_{n+1}-U_n = \frac{3U_n}{2U_n+1} - U_n = U_n \left(\frac{3}{2U_n+1} -1\right) = U_n \frac{3-2U_n - 1}{2U_n -1} = 2U_n \frac{1-U_n}{2U_n+1}
$$
Il me semble que les calculs sont plus clairs en factorisant d'abord, puis en mettant au même dénominateur. Déjà, pas de carré, et moins de $U_n$.

Olivier

[chacha778]

Bonjour, désoler de la réponse tardive mais j'ai eu quelques problèmes avec internet ce qui fait que je n'ai pas pu me connecter.. mais entre temps j'ai avancer et j'en suis à la 5 qu'il me reste à faire avec la 6 et 7 or je rencontres quelques difficultés, pour la 5 dois-je faire : Vk soit V0, V1,V2... jusqu'à ce que j'ai 7 termes vu que k=7 ?
Pour la 6 et 7 je ne comprend pas du tout..

[rebouxo]

Bonjour, désoler de la réponse tardive mais j'ai eu quelques problèmes avec internet ce qui fait que je n'ai pas pu me connecter.. mais entre temps j'ai avancer et j'en suis à la 5 qu'il me reste à faire avec la 6 et 7 or je rencontres quelques difficultés, pour la 5 dois-je faire : Vk soit V0, V1,V2... jusqu'à ce que j'ai 7 termes vu que k=7 ?
Pour la 6 et 7 je ne comprend pas du tout..

Well, we all have business to do ;-)
Pour la 5, il y a un théorème du cours qui donne la somme d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $V_0$ (avec une démo qui n'est vraiment pas dure, mais passons), il suffit donc d'écrire cette somme. Cela sera bien plus rapide que de calculer les 7 termes de ta suite. C'est une question de cours, qui n'a aucun rapport avec la suite.

Pour la 6, tu dois avoir trouvé l'expression de $V_n$, puis de $U_n$ en fonction de $V_n$.
Il ne reste plus qu'à remplacer. Dis moi ce que tu as trouvé.

La 7, tu factorises au numérateur et au dénominateur de ta fonction par $3^n$. Ce facteur se simplifie. Il ne reste plus qu'à savoir la limite de $3^{-n}$, quand $n$ devient grand, pour conclure.

Bon courage.
Olivier

[chacha778]

Pour la 5 oui je me suis servie du cours qui me fait v0+v1+v2...+v7 = 3280 ?
Pour la 6 j'ai donc remplacé Vn par 3^n et 1+vn par 1+3^n
pour la 7 j'ai donc divisé par 3^n et trouve le résultat attendu, et lim Un = 1 ?

[rebouxo]

Pour la 5 oui je me suis servie du cours qui me fait v0+v1+v2...+v7 = 3280 ?
Pour la 6 j'ai donc remplacé Vn par 3^n et 1+vn par 1+3^n
pour la 7 j'ai donc divisé par 3^n et trouve le résultat attendu, et lim Un = 1 ?

Pour la 5, je te fais confiance pour le calcul. Je n'ai pas vérifié.
Pour la 6, oui c'est aussi bête que cela, parfois .
Pour la 7, oui, car $\frac{1}{3}< 1$.

Olviier